รบกวนโจทย์พีชคณิตทีครับ

[polsk133]

จงแสดงว่า

$p(x)=(x^2+1^2)(x^2+2^2)(x^2+3^3)...(x^2+10^2)+1$

ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธฺ์เป็นจำนวนเต็มได้

[kongp]

ถ้าหาเหตุผลได้ว่า a+b = a*b จริง แล้วแปลงผลบวกเป็นผลคูณหรือกลับกันกลับผลคูณเป็นผลบวก จัดรูปต่อน่าจะได้เป็นพหุนามคูณกัน 2 สมการก็ทำได้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

ถ้าหาเหตุผลได้ว่า a+b = a*b จริง แล้วแปลงผลบวกเป็นผลคูณหรือกลับกันกลับผลคูณเป็นผลบวก จัดรูปต่อน่าจะได้เป็นพหุนามคูณกัน 2 สมการก็ทำได้

เยี่ยม!

[polsk133]

งงอะครับ. รบกวนหน่อยนะครับ

[polsk133]

ใครทำเป็นรบกวนทีครับ

[LightLucifer]

ตอนผมส่งข้อนี้ไปทำ solution ไม่สมบูรณ์ยังมีอีก case หนึ่งที่ยังคาใจ จึงยังไม่ได้ตอบ

ปล. กำลังจัดการกับสิ่งที่คาใจอยู่ เสร็จแล้วจะโพสให้
ปล.2 แต่ถ้าอยากเห็นแนวคิดเดี๋ยวโพสไว้ให้ก่อนก็ได้ครับ

[polsk133]

ขอแนวคิดหน่อยครับ(เอาแค่ที่จะทำยังไม่ต้องเป็นsolnก็ได้ครับ)
ขอบคุณครับ

ปล.วันนี้สอบFE กับ nt คะแนนเน่าเลยครับ ไว้สอบเสร็จจะเอาโจทลงให้ครับ

[LightLucifer]

เสร็จแล้วครับ

แนวคิดคือ

สังเกตุว่า $p(x)$ มีดีกรีเท่ากับ $20$
สมมติว่า $p(x)=q(x)r(x)$ โดยที่ $q(x),r(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า $1=p(yi)=q(yi)r(yi)$ สำหรับ $y=\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$
แต่เนื่องจาก $q(x),r(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า $(q(yi),r(yi))=(1,1),(-1,-1),(i,-i),(-i,i)$
ถ้ามี $y_1,y_2$ ซึ่งทำให้ $(q(y_1i),r(y_1i))=(1,1),(-1,-1)$ และ $(q(y_2i),r(y_2i))=(i,-i),(-i,i)$
พิจรณาพหุนาม
$q(x)-r(x)$ และ $q(x)+r(x)$ มีดีกรีเท่ากันคือ $max(deg(q(x)),deg(r(x)))$
และ $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)-r(x)$ หรือ $q(x)+r(x)$
ถ้า $max(deg(q(x)),deg(r(x))) >10 $ จะได้ว่า $q(x)-r(x)$ และ $q(x)+r(x)$ มีรากรวมกัน มากกว่า $20$ ขัดแย้งกับ $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)-r(x)$ หรือ $q(x)+r(x)$
ถ้า $max(deg(q(x)),deg(r(x))) <10 $ จะได้ว่า $deg(q(x))+deg(r(x))<20$ ขัดแย้งกับ $p(x)$ มีดีกรีเท่ากับ $20$
ถ้า $max(deg(q(x)),deg(r(x))) = 10 $ สมมติว่าเท่ากับ $deg(q(x))$ จะได้ว่า $deg(r(x))$ ด้วยเพราะ $deg(q(x))+deg(r(x))= 20$ จะได้ว่า $deg(q(x)-r(x))<10=max(deg(q(x)),deg(r(x)))$ ซึ่งขัดแย้งกับ
$q(x)-r(x)$ มีดีกรีเท่ากับ $max(deg(q(x)),deg(r(x)))$

ดังนั้นจะได้ว่า $(q(yi),r(yi))=(1,1),(-1,-1)$ หรือ $(q(yi),r(yi))=(i,-i),(-i,i)$ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
ถ้า
จะได้ว่า $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)-r(x)$
นั่นคือ $deg(q(x)-r(x))=max(deg(q(x)),deg(r(x))=20$ นั่นคือ ไม่ $q(x)$ ก็ $r(x)$ ต้องเป็นค่าคงที่ ซึ่งขัดแย้งกับโจทย์

ถ้า
จะได้ว่า $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)+r(x)$
นั่นคือ $deg(q(x)+r(x))=max(deg(q(x)),deg(r(x))=20$ นั่นคือ ไม่ $q(x)$ ก็ $r(x)$ ต้องเป็นค่าคงที่ ซึ่งขัดแย้งกับโจทย์

$\therefore $ ไม่มี $q(x),r(x)$ ที่สอดคล้องกับโจทย์ $ \ \ \ \ \ \square$

ปล. เดี๋ยวนี้แก่แล้ว ไม่ค่อยได้ฝึก คิดอะไรช้าลงเยอะเลย =="

[polsk133]

ข้อนี้โหดจังครับ

[PP_nine]

โจทย์น่าจะเขียนผิดนะ ตรง $3^3$ น่าจะเป็น $3^2$ มากกว่านะครับ

แต่จะแสดงเป็นกรณีทั่วไปเลยนะครับ (เฉลยจาก Mathematical Olympiads 1999-2000 ของ Titu ครับ)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

จงแสดงว่า

$p(x)=(x^2+1^2)(x^2+2^2)(x^2+3^2)...(x^2+n^2)+1$

ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มได้สำหรับจำนวนนับ $n$ ใดๆ

ในกรณีที่ $n=1$ ชัดเจนอยู่แล้ว ต่อไปพิจารณา $n \ge 2$

สมมติว่ามี $n \ge 2$ ที่ทำให้ $p(x)$ สามารถลดทอนได้เหนือจำนวนเต็มเป็น

$p(x)=g(x) \cdot h(x)$

โดยที่

$g(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k$

$h(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_lx^l$

เมื่อ $a_i,b_i \in \mathbb{Z}$ และ $k+l=2n$

สำหรับ $m \in \{ \pm 1, \pm 2, ..., \pm n\}$ พบว่า $(mi)^2+m^2=0$

ดังนั้น $f(mi)=0+1$

$1=g(mi) \cdot h(mi)$

แต่ทั้ง $g,h$ เป็นพหุนามเหนือจำนวนเต็ม สมการข้างต้นจึงบ่งว่า $g(mi),h(mi)$ ต้องมีค่าอยู่ในกลุ่ม $\{ 1,-1,i,-i \}$

สำหรับ $m \not= \pm 1$ เราพบว่าส่วนจินตภาพของ $g(mi)$ คือ $m(a_1-a_3m^2+a_5m^4-\cdots)$

แปลว่าส่วนจินตภาพเป็นจำนวนเท่าของ $m$ ซึ่งจะบังคับให้อยู่ในกลุ่ม $i,-i$ ไม่ได้

ดังนั้น $g(mi)= \pm 1$ และทำให้ $h(mi)= \pm 1$

แสดงว่ามีบางพหุนาม $q$ เหนือจำนวนเต็ม ซึ่งสอดคล้องกับ

$g(x)-h(x)=(x^2+2^2)(x^2+3^2) \cdots (x^2+n^2)q(x)$

โดยที่ $q(x)$ มีดีกรีอย่างมากเป็น $1$

กลับมาพิจารณา $(g(i),h(i))$ ที่อยู่ในกลุ่ม $(1,1),(-1,-1),(i,-i),(-i,i)$

สังเกตว่า $2 \ge |g(i)-h(i)| = (2^2-1)(3^2-1) \cdots (n^2-1) |q(i)|$

สำหรับ $n \ge 2$ จึงเป็นไปได้เพียงว่า $|q(i)|=0$

แต่ $q$ มีดีกรีอย่างมากเป็น $1$ แสดงว่าต้องไม่มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน

ดังนั้น $q(x)=0$ เท่านั้น

ทำให้ $g=h$

ส่งผลให้ $a_0^2=g(0) \cdot h(0) = f(0) = (n!)^2+1$

หรือก็คือ $(a_0+n!)(a_0-n!)=1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ดังนั้น $f$ ไม่สามารถลดทอนได้เหนือจำนวนเต็ม #


ปล. ข้อสอบจาก Japanese MO 1999

ปล2. ตอบไม่ทัน LightLucifer

[polsk133]

พรุ่งนี่้ผมต้องเจอแบบนี้หรอครับ TT

โหดมากๆทั้งคู่เลยครับ

[kongp]

ข้อนี้อาจจะมีคำตอบได้ แบบว่าเป็นค่าประมาณไงครับ

[kongp]

สุภาษิต สมัยเด็กของผมมีว่า " เชื่อตามครูหมดเป็นหมา เช่น ครูบอกให้ไปตายจะตายไหม ? " เป็นเหตุผลหนึ่งที่ผมตอบแบบเบี่ยงประเด็นออกไปจากคำสั่งของโจทย์

แนวความคิดสมัยที่ผมเริ่มเรียนคณิตศาสตร์ มีอิทธิพลต่อแนวคิดของผมมาก อาจเพราะจำมาเยอะ คำสั่งสอนของอาจารย์ที่ให้ชื่นชมสาขาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ <-- ตรงนี้แหละหากเชื่อและผมถ่ายทอดให้กับเด็กๆ ยุคใหม่ จะเเน่ใจได้อย่างไรว่าสังคมโอบอุ้มเด็กที่เรียนด้วย หากเค้าหลงไหลงงงวยกับที่มาที่ไปที่ไร้ที่สิ้นสุด

เป็นการสร้างกรรมหากผมมองนะ แต่อาจมีหลายอย่างที่เราไม่รู้ แต่ผมก็พยายามจะคาดเดาอยู่เรื่อยๆ บางเรื่องก็ปัดทิ้งไป เช่น มองว่าเป็นคำโกหก หรือ ไม่ใช่เรื่องของเราสำหรับวิชาคณิตศาสตร์ทุกเรื่อง แน่นอนมีผู้รู้มากมายต่างจากผม มองได้ชัดเจนกว่าผม จนอาจจะมองว่าผมกล่าว Vage ผมก็ไม่ได้รู้สึกว่าตนเองสับสน แต่คงกล่าวไม่เข้าประเด็นของเค้า เช่น เอาเรื่องคณิตศาสตร์ไปกล่าวกับผู้เชี่ยวชาญที่เป็นวิศวกรชาวอเมริกัน เหมือนกับเค้ารู้ Know How แต่ให้เราสร้าง Know How ใหม่ของตัวเอง ที่ไม่ใช่พื้นฐานจากวิชาวิทยาศาสตร์ เพราะต้องการสร้างสิ่งที่จับต้องได้

บอกไว้เผื่อคนอื่นๆ ที่ตามมาจะได้ไม่หลงทาง

[แม่ให้บุญมา]

ข้อนี้ให้พิสูจน์ว่า รากของสมการ p(x)=0 ไม่เป็นจำนวนเต็มใช่ไหมครับ

[coke]

#14คิดว่าน่าจะไม่ใช่นะครับ และอีกอย่างคือจะเห็นว่าไม่มีจํานวนจริงxที่ทําให้P(x)=0 เพราะP(x)มากกว่า0