อสมการในค่ายโอฯ

[Tony]

สวัสดีชาวยุทภพ mathcenter
วันนี้ในคาบวิชาอสมการ มีการเล่นเกมส์เกิดขึ้น โดยการแบ่งเป็น 2 ทีม กำหนด 4 นิพจน์มาให้ 4 ตัวแปร คือ
$$\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\frac{b+c}{\sqrt{d}}+\frac{c+d}{\sqrt{a}}+\frac{d+a}{\sqrt{b}}$$
กับ $$\frac{\sqrt{a+b}}{b+c}+\frac{\sqrt{b+c}}{c+d} +\frac{\sqrt{c+d}}{d+a}+\frac{\sqrt{d+a}}{a+b}$$
แล้วให้แต่ละทีม(ทีมละ 11 คน) แต่งโจทย์ โดยใช้ 4 นิพจน์นี้ ใช้อสมการต่างๆ ทำลงมาเรื่อยๆ กลุ่มละ 11 บรรทัด ซึ่งบรรทัดที่อยู่ติดกันจะใช้อสมการเหมือนกันไม่ได้ เช่น ใช้ A.M.-G.M. ซ้ำกันไม่ได้

แต่ละทีมตั้งโจทย์ได้ดังนี้
$A$: $a,b,c,d>\frac{3}{4}$
Prove that
$$\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\frac{b+c}{\sqrt{d}}+\frac{c+d}{\sqrt{a}}+\frac{d+a}{\sqrt{b}} < \frac{2\sqrt{ac}+(a+b)\sqrt{3}+2\sqrt{b^{2}c}}{3(2\sqrt{2c\sqrt{c}}+\frac{3}{10}\sqrt{\sqrt{6}-2}+2\sqrt[4]{2c})}+\frac{(a+b)(1+\frac{c\pi}{2})}{-\frac{\sqrt{3}}{2}(2+\pi c)+c\sqrt{8\pi}}$$
$$+\frac{b^{\frac{10}{7}}+c^{\frac{18}{11}}}{b^{\frac{5}{7}}c^{\frac{-2}{11}}d^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{-2}{7}}c^{\frac{9}{11}}d^{\frac{1}{2}}}+\frac{d^{2}\sqrt{c}}{4b^{2}}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3\sqrt{abc}}+\frac{\sqrt{ab^{4}}+\sqrt{b^ {2}d^{3}}+\sqrt{ac^{4}}+\sqrt{c^{2}d^{}3}}{2\sqrt{abcd}}$$

$B$: Let $a,b,c,d>0,\ a,b,c,d>0 \ a,b,c,d\in Q', \ e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots,\ c^{2}+d^{2}\geq 2a,\ c\not= \frac{d}{27},\ a+b+c+d=957+\pi$
Prove that
$$\frac{\sqrt{a+b}}{b+c}+\frac{\sqrt{b+c}}{c+d} +\frac{\sqrt{c+d}}{d+a}+\frac{\sqrt{d+a}}{a+b}<\pi\bigg( \sum_{cyc}\sqrt{\Big(\frac{\pi^{4}}{2c^{2}}+c^{2}\Big)\Big(\frac{2}{c(c+ed+4d)}+\frac{1}{(a+b)^{2}}\Big)}\bigg) $$
$$+\pi^{2}\sqrt{\Big(\frac{\pi^{4}}{2a}+a\Big)\Big(\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{6a(\sqrt[3]{cd^{2}})-2ad}\Big)}+\pi^{3}\sqrt{\Big(\frac{\pi^{4}}{2(c^{2}+d^{2})}+a^{2}+b^{2}\Big)\Big(c^{2}+d^{2}-2a^{2}\Big)}$$

ลองนั่งคิดกันดูนะครับ ว่าจะได้เกิน 11 บรรทัดรึเปล่า

[Mastermander]

เห็นโจทย์แล้วมันคันมือ

เกามือ... แล้วก็ปิดไป

[devilzoa]

เด็กในค่ายเรียนกันอย่างนี้นี่เอง เฮอะๆ คันหัว(เกาหัวแล้วเข้าไปสระผมดีกว่า...แกร่กๆ)

[M@gpie]

ต้องใช้พลังวัตรที่ฝึกมาอย่างยาวนานจริงๆครับ

[nooonuii]

ไม่เข้าใจคำถามนิดหน่อยครับ หมายความว่า ให้เริ่มสร้างอสมการโดยใช้นิพจน์ที่แต่ละกลุ่มได้มา โดยที่ห้ามใช้อสมการในแต่ละครั้งที่อยู่ติดกันซ้ำกันเหรอครับ

ป.ล. ที่ถามนี่ไม่ได้คิดจะเล่นครับ

[Tony]

คือ ให้ใช้สูตรอสมการที่เรียนมา (เช่น $A.M.-G.M.,\ Holder,\ Cauchy$,...) เหล่านี้ บีบค่าจากพจน์ตั้งต้น แล้วบีบมาเรื่อยๆ โดยแต่ละครั้งที่บีบ ใช้สูตรอสมการว้ำกันไม่ได้

รับประกันว่า อสมการแต่ละข้อ สามารถแก้ไดโดยใช้บรรทัดไม่เกิน $11$ บรรทัด

[R-Tummykung de Lamar]

hint :ทีม B ตรงเงื่อนไข

$a+b+c+d=957+\pi =960.14159...<961=31^2$