Nested Radical

[maracana]

ช่วยคิดหน่อย
ให้พิสูจน์ว่า

[TOP]

รอน้องๆมาช่วยคิดตั้งนานแล้ว ลองไปดูที่หัวข้อ โจทย์ของคนมีระดับ

[maracana]

พอจะทำได้แล้ว (จะทำข้อ 3 ของโจทย์ของคนมีระดับก่อน)
จาก (x+n+a)^2 = (n+a)^2 + 2(n+a)x + x^2
= ax + (n+a)^2 + x[(x+n+a)+n]
นั่นคือ (i) x+a+n = sqrt(ax + (n+a)^2 + x[(x+n+a)+n])
จาก (i) แทนค่า x ด้วย x+n
(ii) (x+n+a)+n = sqrt(a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)[(x+2n+a)+n])
แทนค่า (ii) ลงใน (i) ตรงวงเล็บ [ ] ทางขวาของ (i)
(iii) x+a+n = sqrt(ax + (n+a)^2 + x*sqrt(a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)[(x+2n+a)+n]))
ทำซ้ำโดยแทนค่า x ด้วย x+2n ใน (i)
(iv) (x+2n+a)+n = sqrt(a(x+2n) + (n+a)^2 + (x+2n)[(x+3n+a)+n])
แทนค่า (iv) ลงใน (iii) ตรงวงเล็บ [ ] ทางขวาของ (iii)
(v) x+a+n = sqrt(ax + (n+a)^2 + x*sqrt(a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)*sqrt(a(x+2n) + (n+a)^2 + (x+2n)[(x+3n+a)+n])))
โดยการทำซ้ำๆ ไปเรื่อยๆ จะได้
x+a+n = sqrt(ax + (n+a)^2 + x*sqrt(a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)*sqrt(a(x+2n) + (n+a)^2 + (x+2n)*sqrt(...))))
ตามต้องการ
เมื่อแทนค่า x=2, a=0, n=1 จะได้
3 = sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + 4sqrt(...))))

แต่จะแสดงว่ามัน converge ได้อย่างไร

[TOP]

การทำ recursive ไปเรื่อยๆยังไม่สามารถใช้พิสูจน์ได้ว่ามันได้ค่านั้นจริงๆ เช่น

6 = ึ2(18) = ึ2ึ2(162) = ึ2ึ2ึ2(13122) = ึ2ึ2ึ2ึ2(86093442) = ึ2ึ2ึ2ึ2ึ2ึ...

2 = ึ2(2) = ึ2ึ2(2) = ึ2ึ2ึ2(2) = ึ2ึ2ึ2ึ2(2) = ึ2ึ2ึ2ึ2ึ...

\ เราจึงไม่สามารถสรุปได้ว่า
3 =ึ1+2ึ16 = ึ1+2ึ1+3ึ25 = ึ1+2ึ1+3ึ1+4ึ36 = ึ1+2ึ1+3ึ1+4ึ1+5ึ...

ข้อนี้แก้ด้วย squeez theorem โดยการพิสูจน์ว่า lower bound และ upper bound ของ recursive radical มีค่าเท่ากับ 3 แต่ต้องมีความรู้เรื่อง functional เล็กน้อย

[warut]

มาดูวิธีทำแบบยืดยาดของผมกันดีก่า

เริ่มจากให้ {a_n} เป็นลำดับต่อไปนี้
a₁ = ึ1+2
a₂ = ึ1+2ึ1+3
a₃ = ึ1+2ึ1+3ึ1+4
a₄ = ึ1+2ึ1+3ึ1+4ึ1+5
...
จะเห็นว่าสิ่งที่เราต้องการก็คือค่าของลิมิตของลำดับ {a_n} นั่นเอง

เพื่อช่วยในการพิสูจน์เราสร้างลำดับ {b_n} ขึ้นมาดังนี้
b₁ = ึ9 = 3
b₂ = ึ1+2ึ16 = 3
b₃ = ึ1+2ึ1+3ึ25 = 3
b₄ = ึ1+2ึ1+3ึ1+4ึ36 = 3
...
ดังนั้น b_n = 3 "nฮN และ 3 ก็คือค่าลิมิตของลำดับ {b_n}

มาถึงจุดนี้ถ้าเราต้องการแค่แสดงว่า {a_n} เป็นลำดับที่คอนเวอร์จก็เพียงให้สังเกตว่า
1. {a_n} เป็น monotonic increasing sequence นั่นคือ a_n ฃ a_n+1 "nฮN
2. {a_n} เป็นลำดับที่มี upper bound เพราะ a_n ฃ b_n = 3 "nฮN
เราก็จะรู้ได้ทันทีว่า {a_n} คอนเวอร์จ

แต่เนื่องจากเราต้องการหาลิมิตของ a_n เราสามารถข้ามขั้นตอนนี้ไปได้
แล้วมาพิจารณาค่าของ lim_nฎฅ (a_n - b_n) แทน ซึ่งถ้าเราหาได้ว่าลิมิต
นี้เท่ากับ 0 เราก็จะรู้ทันทีว่าลำดับ {a_n} คอนเวอร์จและมีค่าลิมิตเท่ากับ 3

เพื่อช่วยในการพิสูจน์และทำให้การนิยามลำดับ {a_n} และ {b_n} รัดกุมยิ่งขึ้น
อีกทั้งยังสามารถใช้เป็น algorithm ในการคำนวณหาค่าของ a_n ด้วยคอมพิวเตอร์ได้
ผมจะสร้าง arrays {a_n,k} และ {b_n,k} โดยที่ nฮN และ 0 ฃ k ฃ n ขึ้นดังนี้
a_n,0 = n+1
a_n,k = (n-k+1)ึ1+a_n,k-1
b_n,0 = (n+1)(n+3)
b_n,k = (n-k+1)ึ1+b_n,k-1

จะเห็นว่า
a_n,n = a_n
b_n,n = b_n
a_n,k ณ 0
b_n,k = (n-k+1)(n-k+3)
b_n,k+1 = (n-k+2)²

ดังนั้นเราจะได้ว่า
b_n,k - a_n,k
= (n-k+1){ึ1+b_n,k-1 - ึ1+a_n,k-1}
= (n-k+1)(b_n,k-1 - a_n,k-1)/{ึ1+b_n,k-1 + ึ1+a_n,k-1}
= (n-k+1)(b_n,k-1 - a_n,k-1)/{(n-k+3) + ึ1+a_n,k-1}
ฃ {(n-k+1)/(n-k+4)}(b_n,k-1 - a_n,k-1)

ดังนั้น(อีกที)
0 ฃ b_n - a_n = b_n,n - a_n,n ฃ {n!/((n+3)!/6)}(b_n,0 - a_n,0) = 6/(n+3)

เนื่องจากเรารู้ว่า lim_nฎฅ 6/(n+3) = 0 เราจึงสามารถสรุปได้แล้วว่า lim_nฎฅ a_n = 3

[TOP]

ให้ x_n = ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ...
จะได้ x_n = ึ1 + (n + 1) x_{n + 1} ----- (1)

เนื่องจาก ึ1 + (n + 1)(n + 1 + a) = ึ [n + (a + 2)/2]² + [a + 2 - [(a + 2)/2]²]
โดย [a + 2 - [(a + 2)/2]²] ณ 0 ก็ต่อเมื่อ |a| ฃ 2
หรือ ึ1 + (n + 1)(n + 1 + a) ณ n + (a + 2)/2 ก็ต่อเมื่อ |a| ฃ 2 ----- (2)

หากเราพิสูจน์ได้ว่า x_n ณ n + a โดยที่ |a| ฃ 2 และใช้อสมการ (2) กับสมการ (1) จะได้
x_n = ึ1 + (n + 1)x_{n + 1} ณ ึ1 + (n + 1)(n +1 + a) ณ n + (a + 2)/2
เนื่องจาก |(a + 2)/2| ฃ 2 เสมอ หากเราทำซ้ำอสมการใหม่ที่ได้กับอสมการ (2) และสมการ (1) ไปเรื่อยๆ ค่า a ใหม่ที่ได้ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของ a เดิม กับ 2 จะขยับเข้าหา 2 เรื่อยๆ ดังนั้นเมื่อทำซ้ำไม่รู้จบจึงได้
x_n ณ n + 2

ในทำนองเดียวกัน หากเราพิสูจน์ได้ว่า x_n < b (n + 2) โดยที่ b ณ 1 จะได้
x_n = ึ1 + (n + 1)x_{n + 1} < ึ1 + (n + 1)(bn + 3b) ฃ ึb (n + 2)
หากเราทำซ้ำอสมการที่ได้ไปเรื่อยๆ จะได้ค่า b ใหม่ขยับเข้าใกล้ 1 ดังนั้นเมื่อทำซ้ำไม่รู้จบจึงได้
x_n ฃ n + 2

หากเราหาค่า a และ b ดังกล่าวมาได้ จะสรุปได้ว่า n + 2 ฃ x_n ฃ n + 2 หรือ x_n = n + 2 นั่นเอง

เนื่องจาก x_n > ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 1)ึ1 + ... > n + 1 เมื่อ n > -1 หรือ a = 1 นั่นเอง

เนื่องจาก x_n ฃ ึ(n + 2)ึ(n +3)ึ(n + 4)ึ(n + 5)ึ ... เมื่อ n ณ -2
x_n ฃ ึ(n + 2)ึ2(n + 2)ึ4(n + 2)ึ8(n + 2)ึ ... = 2 (n + 2) หรือ b = 2 นั่นเอง

จากค่า a และ b ดังกล่าวสรุปได้ว่า x_n = n + 2 เมื่อ n > -1 จึงได้ x₁ = 3

[warut]

โทษทีครับที่เพิ่งมาตอบ

ถ้าจะมองในแง่การพิสูจน์ให้ rigorous แล้ววิธีของคุณ TOP จะมีปัญหาตั้งแต่
บรรทัดแรกเลยครับ เพราะเรายังไม่รู้เลยว่า nested radicals ในบรรทัดแรกลู่เข้า
รึเปล่า เราจึงยังไม่สามารถกำหนดให้มันเท่ากับอะไรได้ จริงๆแล้วเรายังพูดถึงการ
ลู่เข้าไม่ได้ด้วยซ้ำไป เพราะเรายังไม่ได้กำหนดว่า ... ในที่นี้หมายถึงลำดับอนันต์อะไร
(เหมือนกับในเรื่องผลบวกของอนุกรมอนันต์ที่เราต้องกำหนดว่ามันคือลิมิตของ
ลำดับของผลบวกย่อย)

แต่ยังไงก็ขอขอบคุณคุณ TOP มากเลยครับที่ได้มาแสดงวิธีทำให้ดู

[TOP]

ไม่ได้เจอคุณ warut ตั้งนาน ช่วงนี้งานเยอะสิครับ

สำหรับเหตุผลของการลู่เข้า ผมแสดงไว้ตอนท้าย ตรงหาค่า a และ b ออกมา ซึ่งไม่ได้อ้างอิงสมการด้านบนแต่อย่างใด จะได้

n + 1 < ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... ฃ 2 (n + 2) เมื่อ n > -1

จากนั้นผมก็แก้ไขขอบเขตให้แคบเข้า จนขอบเขตบนและล่างเป็นค่าเดียวกัน
(สำหรับบรรทัดแรก ผมเขียนเพื่อให้ดูสมการตอนปรับขอบเขตได้ง่ายขึ้น คุณ warut จะลองแทน
x_n ด้วย ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... ทั้งหมดก็ย่อมได้)

[warut]

ผมควรจะมาตอบตั้งนานแล้วแต่ก็ไม่ได้ทำสักที แย่จริงๆ
จนกระทั่งได้แรงกระตุ้นจากบทความใหม่ของคุณ gon นี่แหละจึงได้เข้ามาตอบ

คืออย่างนี้ครับ ตามความเห็นของผม ปัญหาในการพิสูจน์ของคุณ TOP อยู่ที่คุณ TOP
กำหนดให้ x_n = ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ...
เนื่องจาก "..." นี่แหละที่ทำให้ x_n ไม่ "well-defined" เพราะเราไม่รู้ว่าเจ้า "..." เนี่ย
มันจะนำเราไปทางไหนสำหรับแต่ละค่าของ n มันอาจจะลู่เข้า หรือไปสู่อนันต์ หรือค่า
มันอาจแกว่งไปมาก็ได้ พูดให้เจาะจงลงไปก็คือเราไม่รู้ด้วยซ้ำไปว่า x₁ หาค่าได้หรือไม่
อาจเป็นไปได้ด้วยซ้ำว่า x₁ คอนเวอร์จ แต่ x₂ ไดเวอร์จ ถ้าเป็นเช่นนั้นจริง x₁
ก็ไม่เท่ากับ ึ1 + 2x₂

ในการพิสูจน์การลู่เข้าของ x_n คุณ TOP อ้างถึงสมการ x_n = ึ1 + (n + 1)x_n+1 แต่เราไม่
มีทางรู้ว่าสมการนี้เป็นจริงหรือไม่ตราบใดที่เรายังไม่รู้ว่า x_n หาค่าได้ (ลู่เข้า) "nฮN
แค่การจับเอา n + 1 ไปแทนค่า n ในนิยามของ x_n ไม่อาจถือได้ว่าเป็นการพิสูจน์สมการ
ดังกล่าว ทั้งนี้เป็นเพราะมีการกระทำที่เกิดขึ้นเป็นอนันต์ครั้งในสูตร

ตามความเห็นของผม การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ "rigorous" ใดๆจำเป็นต้องหลีกเลี่ยง
operation ที่ทำเป็นอนันต์ครั้งโดยที่ยังไม่ "well-defined" เสมอ ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้
ประกอบนะครับ

กำหนดให้ f(t) = 1 + t + t² + t³ + ...
จะได้ว่า 1 + t*f(t) = 1 + t(1 + t + t² + ...) = 1 + t + t² + ... = f(t)
ให้ t = 2 จะได้ 1 + 2f(2) = f(2) ดังนั้น f(2) = -1 เกิดความผิดพลาดขึ้นแล้วไง!

ไม่รู้ว่าคุณ TOP พอจะมองเห็นประเด็นที่ผมพยายามพูดอยู่รึป่าว

[TOP]

ผมเข้าใจประเด็นนั้นครับ และขอบเขตของ x_n ก็แสดงไว้ตรงนี้แล้วครับ (น่าจะถูกนะครับ)
ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... > ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 1)ึ1 + ... > n + 1 เมื่อ n > -1
ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... ฃ ึ(n + 2)ึ(n +3)ึ(n + 4)ึ(n + 5)ึ ... ฃ ึ(n + 2)ึ2(n + 2)ึ4(n + 2)ึ8(n + 2)ึ ... = 2 (n + 2) เมื่อ n ณ -2
ดังนั้น
n + 1 < ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... ฃ 2 (n + 2) เมื่อ n > -1
ตรงจุดนี้ผมยังไม่รู้ว่าลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งหรือไม่ แต่ค่าของ x_n อยู่ในช่วงนี้แน่ๆ
จากนั้นผมก็หาวิธีปรับปรุง ขอบเขตบนและล่างของ x_n ให้ดีขึ้น (ตามวิธีที่ได้บอกไว้ตอนแรก) จนสุดท้ายสรุปได้ว่า ขอบเขตบนและล่างเป็นค่าเดียวกัน จึงสรุปได้ว่า x_n นั้นลู่เข้าจริง และมีค่าเป็น n+2

เพียงแต่ผมนำวิธีปรับปรุง ขอบเขตบนและล่างของ x_n มานำเสนอก่อน และบอกไว้ว่าถ้าหาขอบเขตบน และล่างมาได้ตามเงื่อนไขที่กำหนด (หากเราพิสูจน์ได้ว่า x_n ...) จะสรุปได้ว่า x_n = n + 2 ถ้าหาขอบเขตตามเงื่อนไขดังกล่าวไม่ได้ ก็สรุปไม่ได้ถูกไหมครับ

ตัวอย่างที่คุณ warut ให้มานั้น f(t) ไม่มีขอบเขตตั้งแต่แรกแล้วนี่ครับ และถ้าจะทำแบบเดียวกับที่ผมทำก็จะเป็นลักษณะนี้ครับ
เริ่มจากขอบเขตล่าง เมื่อ t > 0
f(t) > 1
1 + t*f(t) = f(t) > 1 + t (1) > 1 + t ซึ่งก็ถูกต้อง ทำซ้ำอีกครั้งจะได้
1 + t*f(t) = f(t) > 1 + t (1 + t) > 1 + t + t² ซึ่งก็ถูกต้องอีก
ทำไปเรื่อยๆก็จะได้ขอบเขตล่างที่ดีขึ้น

เอาเป็นว่าผมเรียบเรียงวิธีพิสูจน์ใหม่ ให้ดูครึ่งหนึ่งแล้วกันนะครับ และจะไม่พูดถึง x_n อีก (ที่เขียนในรูป x_n เพื่อให้อ้างอิงสมการยาวๆได้ง่ายแค่นั้นละครับ ไม่ได้เน้นตรงที่เป็นสมการเลย)

เนื่องจาก ึ1 + (n + 1)(n + 1 + a) = ึ [n + (a + 2)/2]² + [a + 2 - [(a + 2)/2]²]
โดย [a + 2 - [(a + 2)/2]²] ณ 0 ก็ต่อเมื่อ |a| ฃ 2
หรือ ึ1 + (n + 1)(n + 1 + a) ณ n + (a + 2)/2 ก็ต่อเมื่อ |a| ฃ 2

และเนื่องจาก ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... > ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 1)ึ1 + ... > n + 1 เมื่อ n > -1
หรือ ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + (n + 4)ึ1 + ... > n + 2 เมื่อ n > -2
ดังนั้น
ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... > ึ1 + (n + 1)(n + 1 + 1) ณ n + 3/2
จากนั้นทำซ้ำขั้นตอนเดิมๆ ไปเรื่อยๆสุดท้ายจะได้
ึ1 + (n + 1)ึ1 + (n + 2)ึ1 + (n + 3)ึ1 + ... ณ n + 2

[warut]

ในที่สุดผมก็มาถึงบางอ้อเสียที ต้องขอโทษคุณ TOP ด้วยที่ต้องเสียเวลามาพิมพ์
มากมายหลายครั้งเพื่ออธิบาย ตอนนี้ผมคิดว่าผมเข้าใจแนวคิดของคุณ TOP จริงๆ
แล้วล่ะ (ก็มันลึกซึ้งยากที่จะหยั่งถึงนี่นา) ถ้ามีโอกาสผมจะศึกษาการพิสูจน์ของคุณ
TOP ในรายละเอียดอีกที ยังไงก็ขอบคุณมากๆครับ

[Mathephobia]

How do we prove this Identities :
$$x+n+a=\sqrt{ax+(n+a)^2+x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n)\sqrt{a(x+2n)+(n+a)^2+(x+2n)\sqrt{...}}}}$$

[Anonymous314]

ขุดกระทู้หน่อยนะครับ