1/a+1/b+1/c+1/d=4

[dektep]

ให้ $a,b,c \in R^+$ และ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$
จงพิวูจน์ว่า $\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{3}+c^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{3}+d^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^{3}+a^{3}}{2}}\leq 2(a+b+c+d)-4$

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ให้ $a,b,c \in R^+$ และ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$
จงพิวูจน์ว่า $\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{3}+c^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{3}+d^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^{3}+a^{3}}{2}}\leq 2(a+b+c+d)-4$

จากอสมการ Jensen

$$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{3}+c^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{3}+d^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^{3}+a^{3}}{2}}\leq(a^3+^3+c^3+d^3)^\frac{1}{3} \leq a+b+c+d$$
A.M-G.M. inequality
$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\leq a+b+c+d$$
จัดรูปจะได้
$$a+b+c+d\leq2(a+b+c+d)-4$$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

จากอสมการ Jensen

$$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{3}+c^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{3}+d^{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^{3}+a^{3}}{2}}\leq(a^3+^3+c^3+d^3)^\frac{1}{3} \leq a+b+c+d$$
A.M-G.M. inequality
$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\leq a+b+c+d$$
จัดรูปจะได้
$$a+b+c+d\leq2(a+b+c+d)-4$$

ผมคิดว่าตรง $(a^3+b^3+c^3+d^3)^{\frac{1}{3}} \leq (a+b+c+d)$ ไม่จริงครับ

[dektep]

hint

$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}} \leq \frac{a^2+b^2}{a+b}$

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ผมคิดว่าตรง $(a^3+b^3+c^3+d^3)^{\frac{1}{3}} \leq (a+b+c+d)$ ไม่จริงครับ

ตรงนี้ไม่จริงยังไงหรอครับโปรดชี้แนะด้วยครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

ตรงนี้ไม่จริงยังไงหรอครับโปรดชี้แนะด้วยครับ

แทน a=b=c=d=1 แล้วอสมการไม่จริงครับ

[kanakon]

ขอบคุณครับเข้าใจแล้วจะลองคิดดูอีกที

[dektep]

Solution $\because \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}} \leq \frac{a^2+b^2}{a+b}$
$$\rightarrow L.H.S. \leq \sum_{cyc}\frac{a^2+b^2}{a+b}$$
จะต้องพิสูจน์ว่า $$\sum_{cyc}((a+b)-\frac{a^2+b^2}{a+b}) \geq 4$$
$$\leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{2ab}{a+b}) \geq 4$$
$$\leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \geq 2$$
ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ Cauchy และ ข้อกำหนดของโจทย์