=='

[FFF!]

$a,b,c\in \mathbb{R^{+}} ,a^2+b^2+c^2=1$
\[\sum_{cyc}\frac{a^2}{1+2bc}\geqslant \frac{3}{\sum_{cyc}(\frac{2a-b}{a-b})^2}.\]

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FFF!

$a,b,c\in \mathbb{R} ,a^2+b^2+c^2=1$
\[\sum_{cyc}\frac{a^2}{1+2bc}\geqslant \frac{3}{\sum_{cyc}(\frac{2a-b}{a-b})}.\]

โทษทีครับ ทำผิด ลบทิ้งแล้วครับ

[SpammingMan]

โจทย์ผิดนะครับ...ต้องเป็นแบบนี้ต่างหากครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FFF!

$a,b,c\in \mathbb{R} ,a^2+b^2+c^2=1$
\[\sum_{cyc}\frac{a^2}{1+2bc}\geqslant \frac{3}{\sum_{cyc}(\frac{2a-b}{a-b})^2}.\]

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SpammingMan

โจทย์ผิดนะครับ...ต้องเป็นแบบนี้ต่างหากครับ

เอ่อ นั่นสิครับ ผมทำผิดไปเมื่อวาน สงสัยคงเบลอๆ ขอโทษละกันครับ

Hint:

ส่วนที่ 1

พิสูจน์ว่า $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^2}{1+2bc}\geq\frac{3}{5}$

ส่วนที่ 2

พิสูจน์ว่า $\displaystyle\frac{3}{5}\geq\frac{3}{\sum_{cyc}\left(\frac{2a-b}{a-b}\right)^2}$
ให้ $\displaystyle\frac{a}{a-b}=x,\frac{b}{b-c}=y,\frac{c}{c-a}=z$ ได้ว่าต้องพิสูจน์
$\displaystyle\sum_{cyc}x^2+2\sum_{cyc}x+3\geq5$
แต่จาก $xy+yz+zx+1=x+y+z$ ได้ว่าต้องพิสูจน์ว่า
$(x+y+z)^2\geq0$ ซึ่งเป็นจริงโดยชัดเจน

[nooonuii]

$\bullet$ เป็นอสมการที่ผสมกันสองอสมการนี่เอง

ในส่วนหลัง
$\Big(\dfrac{2a-b}{a-b}\Big)^2+\Big(\dfrac{2b-c}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{2c-a}{c-a}\Big)^2\geq 5$

ผมทำคล้ายๆกันแต่ลุยตรงๆ

ให้ $x=\dfrac{2a-b}{a-b},y=\dfrac{2b-c}{b-c},z=\dfrac{2c-a}{c-a}$

จะได้ว่า $xy+yz+zx=3(x+y+z)-7$

ดังนั้น $x^2+y^2+z^2=(x+y+z-3)^2+5 \geq 5$

$\bullet$ อสมการที่คล้ายกับข้างบนคืออสมการนี้ครับ

$\Big(\dfrac{2a-b}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{2b-c}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{2c-a}{a-b}\Big)^2\geq 13$

เปลี่ยนเทอมนิดหน่อยแต่ค่าต่ำสุดเปลี่ยนไปเยอะเลย

[nooonuii]

อันนี้เป็น General Form ครับ

ให้ $\alpha\neq\beta$ เป็นค่าคงที่

$\Big(\dfrac{\alpha a-\beta b}{a-b}\Big)^2+\Big(\dfrac{\alpha b-\beta c}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{\alpha c-\beta a}{c-a}\Big)^2\geq \alpha^2+\beta^2$