integrate ส่วนกลับของผลบวกกำลังสามของไซน์และโคไซน์

[{ChelseA}]

$\int(\frac{1}{sin^{3}x+cos^{3}x})dx $

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {ChelseA}

$\int(\frac{1}{\sin^{3}x+\cos^{3}x})dx $

$$\sin^3x+\cos^3x = (\sin x + \cos x)(1- \sin x \cos x) = \sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})(1-\frac{1}{2}\sin 2x)$$จากนั้นสมมติให้ $t = x + \frac{\pi}{4}$

แล้วเปลี่ยนตัวแปรเป็น $d(\cos t)$ จากนั้นแยกเป็นเศษส่วนย่อย

ถ้าคิดไม่ผิดก็จะได้ $$-\frac{\sqrt{2}}{3}\ln[\sin(x+\pi/4)]-\frac{2}{3}\arctan[\sqrt{2}\cos(x+\pi/4)] + C$$

[{ChelseA}]

ขอบคุณครับพี่ gon