พี่ nongtum มาช่วยไขข้อ ข้องใจ หน่อยครับ

[Pramote]

คือว่าผมได้ไปดูที่พี่เฉลยโจทย์ข้อ17ของเพชรยอดมงกุฏม.ต้นปี2548 รอบชิง อ้างอิงจากโจทย์ที่ได้

a = 1/2(1+ึ5) , b = 1/2(1-ึ5)

จงหาa^13 + b^13 = ?

จากสูตรที่พี่บอกนะครับคือ c^n = a^n+b^nแล้วมันไปเกี่ยวข้องกับลำดับฟีโนบัทซี ที่ว่า
c = c + c มันเกี่ยวข้องกันอย่างไรครับ เป็นทฤษฎี หรือ ว่าใช้วิธีสังเกตครับ
(n+2) (n+1) n

ตอนแรกผมคิดว่าจะใช้อนุกรมผลบวกกับผลต่างของเลขยกกำลังคี่ ในหนังสือ อ. กมล แต่มันยาวมาก
เพราะว่ามันยกกำลัง13มาหักล้างกัน ก็ยังยาวอยู่ จึงจะขอใช้วิธีของพี่nongtumไปช่วยอธิบายหน่อยครับ(ไม่ต้องพิสูจน์สูตร) ถามพ่อก็ไม่เข้าใจได้แต่วิธีของม.6

[R-Tummykung de Lamar]

หุหุ ไม่ใช่พี่ nongtum ตอบได้มั๊ยเนี่ย

ก็ a กับ b เป็นรากของสมการนี้ครับ (หมายถึงเป็นคำตอบของสมการอะครับ)
$$x^2=x+1$$

เมื่อคูณตลอดด้วย $x^n$ จะได้ออกมาหน้าตาอย่างนี้ครับ
$$x^{n+2}=x^{n+1}+x^n$$

ซึ่งก็ถ้าต้องการเลขยกกำลังสูงขึ้น ก็ให้เอาเลขยกกำลังย้อนหน้านั้นไปหนึ่งกับสอง มาบวกกันครับ เช่น
$$a^{13}=a^{12}+a^{11}$$

ลองเขียนไล่ๆมาตั้งแต่แรกๆให้อยู่ในรูปของ a กับ b ครับ (ที่ไม่ยกกำลัง)
แล้วก็ใช้ผลบวกของรากครับ

ไม่เข้าใจบรรทัดไหนถามได้นะครับ

[nongtum]

ใช่ครับ ขั้นตอนนั้นใช้วิธีสังเกตจริงๆ แต่หากรู้มาบ้างว่าลำดับนี้คืออะไรก็ไล่ไม่ยากครับ ส่วนกระดาษทดข้อนี้พี่ทิ้งไปนานแล้วล่ะ อีกอย่างข้อสอบมัธยมต้นเขาคงไม่ออกบ้าพลังจัดถึงกับต้องให้มาพิสูจน์ลำดับฟีโบนักชีหรอกนะ (ซึ่งแม้แต่พี่ก็ยังไม่ค่อยเข้าใจเท่าไหร่)

Edit: ทำไมตอนพี่ทดเองถึงนึกอย่างที่น้อง Tummykun เขียนมาไม่ออกน้า ... แต่โจทย์หนึ่งข้อมักจะมีวิธีทำมากกว่าหนึ่งอยู่แล้วล่ะครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ขอนำเสนออีกวิธีละกันนะครับ เป็นวิธีคิดของคุณ SNC

จาก $$x^n+y^n=(x^{n-1}+y^{n-1})(x+y)-(x^{n-2}+y^{n-2})(xy)$$

เนื่องจาก a,b เป็นรากของสมการ
$x^2-x-1=0$

นั่นคือ $a+b=1$ และ $ab=-1$
จะได้
$$a^n+b^n=(a^{n-1}+b^{n-1})+(a^{n-2}+b^{n-2})$$
ซึ่งก็เป็นลำดับฟีโบนัคชีนั่นแหละครับ
(ต่างจากแนวคิดแรกที่ผมโพสต์ไว้ คืออันนี้คิดสองตัวพร้อมกัน )

[M@gpie]

อืมมมม วิธีของน้อง R-Tummykung de Lamar นี่เฉียบดีครับ
ถ้าเป็นผมทำ ก็คงใช้วิธีจากการจำได้ว่าลำดับฟิโบนักซีมีพจน์ทั่วไปเป็น \[ f(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}\biggl[ \big( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^n - \big( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\big)^n \biggl] \; \; \; , \forall n = 1,2,3,...\]

[Pramote]

ขอขอบคุณพวกพี่ๆทั้งได้ อันได้แก่พี่ nongtum พี่R-Tummykung de Lamar พี่M@gpie ผมเข้าใจดีแล้ว รู้สึกได้ประโยชน์มากเลยครับ แถมได้สูตรใหม่อีก2สูตร หวังว่าสักวันหนึ่งคงจะเก่งแบบพวกพี่ๆ

[คusักคณิm]

lsามาโพสต์เล่นๆ(ว่าง)