ขอความช่วยเหลือเกี่ยวกับจุดตัดกราฟ

[konkoonJAi]

จะแสดงอย่างไรว่า กราฟ $y=x$ และ $y=b^{x}$ เมื่อ $1<b<e^{\frac{1}{e}}$ตัดกันได้เพียง 2 จุดเท่านั้น
ช่วยหน่อยนะคะ เพราะต้องทำวิชาสัมมนาส่งอาจารย์ ตอนนี้พยายามคิดแล้วแต่คิดไม่ออกค่ะ

[nooonuii]

ยังไม่ได้คิดละเอียดครับ แต่เท่าที่คิดไว้คร่าวๆคือแสดงว่าฟังก์ชัน $f(x)=b^x-x$ มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์เพียงจุดเดียวและค่าต่ำสุดเป็นลบครับ(ตรงนี้แหละที่ต้องใช้เงื่อนไขของค่า $b$ ครับ) จากนั้นสังเกตว่า $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x) = \infty}$ และ $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty}$
ดังนั้นกราฟของ $f(x)$ จะตัดแกน $X$ ได้เพียงสองจุดเท่านั้นโดยอ้าง Intermediate Value Theorem ครับ

[mercedesbenz]

\frac{2}{1}

[Punk]

จำได้ว่าเคยเขียนบทความลงใน My Maths เรื่องจำนวนจุดตัดของกราฟ log กับ exp คำถามที่ถามของหัวข้อนี้ อยู่ในบทพิสูจน์ของทฤษฎีบทแรกในบทความ แต่ผมจำไม่ได้แล้วว่า My Maths เล่มไหนนะสิ แนวคิดของวิธีพิสูจน์ของผมแบบเดียวกับที่ nooonuii บอกเนี่ยแหละครับ

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ยังไม่ได้คิดละเอียดครับ แต่เท่าที่คิดไว้คร่าวๆคือแสดงว่าฟังก์ชัน $f(x)=b^x-x$ มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์เพียงจุดเดียวและค่าต่ำสุดเป็นลบครับ(ตรงนี้แหละที่ต้องใช้เงื่อนไขของค่า $b$ ครับ) จากนั้นสังเกตว่า $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x) = \infty}$ และ $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty}$
ดังนั้นกราฟของ $f(x)$ จะตัดแกน $X$ ได้เพียงสองจุดเท่านั้นโดยอ้าง Intermediate Value Theorem ครับ

ผมลองไปคิดละเอียดดูแล้วพบว่าเป็นจริงอย่างที่ คุณ nooonuii ว่าไว้ ขอนับถือในฝีมือเลยครับเก่งจริง ๆๆ
ขอบคุณมากนะครับที่ให้คำชี้แนะ