Trigonometric Marathon

[passer-by]

76. Evaluate $$ \sum_{k=1}^{2n} \tan^4 (\frac{k\pi}{2n+1}) $$

HINT

Binomial theorem and a well-known identity in algebra might help !

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

76. Evaluate $$ \sum_{k=1}^{2n} \tan^4 (\frac{k\pi}{2n+1}) $$

Solution

จาก $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$ ดังนั้น $$(1+i\tan\theta)^n=\frac{\cos n\theta}{(\cos\theta)^n}+i\frac{\sin n\theta}{(\cos\theta)^n}$$
ใช้ Binomial แล้วเทียบส่วนจินตภาพ$$\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2k+1}(-1)^k(\tan\theta)^{2k+1}=\frac{\sin n\theta}{(\cos\theta)^n}$$
ให้ $x=(\tan\theta)^2$ และ แทน $n$ ด้วย $2n+1$ $$\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}(-1)^kx^k=\frac{\sin(2n+1)\theta}{(\tan\theta)(\cos\theta)^{2n+1}}$$
พิจารณา $\theta=\dfrac{m\pi}{2n+1}$ เมื่อ $m=1,2,3,\ldots,n$ พบว่าพจน์ขวามือเป็นศูนย์

ดังนั้น $x_m=\tan^2\left(\dfrac{m\pi}{2n+1}\right)$ เมื่อ $m=1,2,3,\ldots,n$ เป็นรากทั้ง $n$ รากของพหุนามนี้

จะได้ว่า $$\begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\tan^4\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)&=&2\sum_{k=1}^{n}x_k^2\\
&=&2\left(\sum_{k=1}^{n}x_k\right)^2-4\sum_{1\leq k<j\leq n}x_kx_j\\
&=&2{\binom{2n+1}{2n-1}}^2-4\binom{2n+1}{2n-3}\\
&=&\frac{2}{3}n(2n+1)(4n^2+6n-1)&
\end{array}$$

[passer-by]

Solution ถูกแล้วครับ วิธีเดียวกับผมเป๊ะ
ข้อนี้ ผม generalize มาจาก problem olympiad section ของ LINK นี้

ถ้าคุณ Amankris อายุยังไม่เกิน undergraduate ก็ลองส่งไปได้ครับ มันหมดเขตปลายเดือนหน้า

[Amankris]

มาเติมโจทย์ครับ

77). จงหาค่าของ $\dfrac{\sin1^\circ}{\sin45^\circ\sin46^\circ} + \dfrac{\sin1^\circ}{\sin47^\circ\sin48^\circ} + \dfrac{\sin1^\circ}{\sin49^\circ\sin50^\circ} + \cdots + \dfrac{\sin1^\circ}{\sin133^\circ\sin134^\circ}$

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

77). จงหาค่าของ $\dfrac{\sin1^\circ}{\sin45^\circ\sin46^\circ} + \dfrac{\sin1^\circ}{\sin47^\circ\sin48^\circ} + \dfrac{\sin1^\circ}{\sin49^\circ\sin50^\circ} + \cdots + \dfrac{\sin1^\circ}{\sin133^\circ\sin134^\circ}$

\[
\frac{{\sin 1^ \circ }}{{\sin 45^ \circ \sin 46^ \circ }} + \frac{{\sin 1^ \circ }}{{\sin 47^ \circ \sin 48^ \circ }} + \frac{{\sin 1^ \circ }}{{\sin 49^ \circ \sin 50^ \circ }} + ... + \frac{{\sin 1^ \circ }}{{\sin 133^ \circ \sin 134^ \circ }}
\]
\[
= \frac{{\sin \left( {46^ \circ - 45^ \circ } \right)}}{{\sin 45^ \circ \sin 46^ \circ }} + \frac{{\sin \left( {48^ \circ - 47^ \circ } \right)}}{{\sin 47^ \circ \sin 48^ \circ }} + \frac{{\sin \left( {50^ \circ - 49^ \circ } \right)}}{{\sin 49^ \circ \sin 50^ \circ }} + ... + \frac{{\sin \left( {134^ \circ - 133^ \circ } \right)}}{{\sin 133^ \circ \sin 134^ \circ }}
\]
\[
= \cot 45^ \circ - \cot 46^ \circ + \cot 47^ \circ - \cot 48^ \circ + \cot 49^ \circ - \cot 50^ \circ + ... + \cot 133^ \circ - \cot 134^ \circ
\]
\[
= \cot 45^ \circ - \left( {\cot 46^ \circ + \cot 134^ \circ } \right) + \left( {\cot 47^ \circ + \cot 133^ \circ } \right) - ... - \left( {\cot 88^ \circ + \cot 92^ \circ } \right) + \left( {\cot 89^ \circ + \cot 91^ \circ } \right) - \cot 90^ \circ = 1
\]

[No.Name]

ผมค่อนข้างชอบมากเลยมาเติมเผื่อมีคนสนใจ(ไม่รู้ว่ายังมีคนตามอยู่ไหมนะครับ)

78) จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{1}{\sin1^{\circ}\sin2^{\circ}}+\dfrac{1}{\sin2^{\circ}\sin3^{\circ}}+...+\dfrac{1}{\sin89^{\circ}\sin90^{\circ}}=\dfrac{ \cos1^{\circ}}{\sin^21^{\circ}}$

[จูกัดเหลียง]

ใจจริง ผมอยากทำนะ เเต่ทำไม่ได้สักที ขอคำชี้เเนะด้วยครับ (จะเป็น Hint หรือยังไงก็ได้ครับ)

[No.Name]

โจทย์คล้ายข้อ 77) น่ะครับ

สู้ๆครับ

[จูกัดเหลียง]

ครั้งเเรกในชีวิตที่ทำตรีโกณได้( เเบบลอกคนอื่น )
$$\frac{\sin 1^๐}{\sin 1^๐\sin 2^๐}+\frac{\sin 1^๐}{\sin 2^๐ \sin 3^๐}+...+\frac{\sin 1^๐}{\sin 89^๐\sin 90^๐}$$
$$=\frac{\sin(2^๐-1^๐)}{\sin 1^๐\sin 2^๐}+\frac{\sin(3^๐-2^๐)}{\sin 3^๐ \sin 2^๐}+...+\frac{\sin(90^๐-89^๐)}{\sin 89^๐\sin 90^๐}$$
$$=\cot 1^๐-\cot 2^๐+\cot 2^๐-\cot 3^๐+...+\cot 89^๐-\cot 90^๐=\cot 1^๐=\frac{\cos 1^๐}{\sin 1^๐}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{\sin 1^๐\sin 2^๐}+\frac{1}{\sin 2^๐ \sin 3^๐}+...+\frac{1}{\sin 89^๐\sin 90^๐}=\frac{\cos 1^๐}{\sin^2 1^๐}$$

[Real Matrik]

ทำมาฝากสำหรับคนชอบตรีโกณมิติครับ (จะทยอยลงให้เรื่อยๆครับ ครั้งละ 7 ข้อ)

http://www.upload-thai.com/download....5c3ceaf2fdb45d

[No.Name]

ขอเริ่มก่อนเลยละกันครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

79.จงพิสูจน์ว่า

$$\cot^2\dfrac{\pi}{7}+\cot^2\dfrac{2\pi}{7}+\cot^2\dfrac{3\pi}{7}=5$$

$\sin7A=7 \sin A\cos^6A-35\sin^3A\cos^4A+21\sin^5A\cos^2A-\sin^7A$

$~~~~~~=\sin^7A\left(\,7\cot^6A-35\cot^4A+21\cot^2A-1\right) $

และ $A=\dfrac{\pi}{7},\dfrac{2\pi}{7}, \dfrac{3\pi}{7}$

$7\cot^6A-35\cot^4A+21\cot^2A-1=0$

และให้ $\cot^2A=x$

$7x^3-35x^2+21x-1=0$

$x^3-5x^2+3x-\dfrac{1}{7}=0$

จะได้ $\cot^2\dfrac{\pi}{7}+\cot^2\dfrac{2\pi}{7}+\cot^2\dfrac{3\pi}{7}=5$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

80.จงพิสูจน์ว่า

$$\left(\,4\cos9^{\circ}-3\right)\left(\,4\cos27^{\circ}-3\right)=sin9^{\circ}$$

$\left(\,4\cos9^{\circ}-3\right)\left(\,4\cos27^{\circ}-3\right)=\dfrac{\left(\,\cos27^{\circ}\right)\left(\,4\cos27^{\circ}-3\right)}{\cos9 ^{\circ}}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{\left(\,\cos27^{\circ}\right)\left(\,\cos81^{\circ}\right)}{\left(\,\cos9^{\circ} \right)\left(\,\cos27^{\circ}\right)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{\cos(90-9)}{\cos9^{\circ}}$

$\left(\,4\cos9^{\circ}-3\right)\left(\,4\cos27^{\circ}-3\right)=\dfrac{\sin9^{\circ}}{\cos9^{\circ}}=\tan9^{\circ}$

[Real Matrik]

ผมขอเสนออีกตัวอย่างให้การให้เหตุผลของข้อ 79. ครับ

ให้ $7A=n\pi$ เมื่อ $n\in I$
จะได้ $\sin A=0$ เมื่อ $7|n$ และ $\cot A=\pm \cot\frac{\pi}{7},\pm \cot\frac{2\pi}{7},\pm \cot\frac{3\pi}{7}$ เมื่อ $7 \not | n$
หรือ $\cot^2A=0,\cot^2\frac{\pi}{7},\cot^2\frac{2\pi}{7},\cot^2\frac{3\pi}{7}$

จากสมการ $\sin7A=\sin^7A(7\cot^6A-35\cot^4A+21\cot^2A-1)$
เมื่อ $\sin A\not=0$ จะได้ว่า $7\cot^6A-35\cot^4A+21\cot^2A-1=0$
ซึ่งมี $\cot^2\frac{\pi}{7},\cot^2\frac{2\pi}{7},\cot^2\frac{3\pi}{7}$ เป็นรากของสมการนี้

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

ผมขอเสนออีกตัวอย่างให้การให้เหตุผลของข้อ 79. ครับ

ให้ $7A=n\pi$ เมื่อ $n\in I$
จะได้ $\sin A=0$ เมื่อ $7|n$ และ $\cot A=\pm \cot\frac{\pi}{7},\pm \cot\frac{2\pi}{7},\pm \cot\frac{3\pi}{7}$ เมื่อ $7 \not | n$
หรือ $\cot^2A=0,\cot^2\frac{\pi}{7},\cot^2\frac{2\pi}{7},\cot^2\frac{3\pi}{7}$

จากสมการ $\sin7A=\sin^7A(7\cot^6A-35\cot^4A+21\cot^2A-1)$
เมื่อ $\sin A\not=0$ จะได้ว่า $7\cot^6A-35\cot^4A+21\cot^2A-1=0$
ซึ่งมี $\cot^2\frac{\pi}{7},\cot^2\frac{2\pi}{7},\cot^2\frac{3\pi}{7}$ เป็นรากของสมการนี้

ขอบคุณมากๆครับ คราวหลัง จะอธิบายให้ละเอียดกว่านี้ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

$\left(\,4\cos9^{\circ}-3\right)\left(\,4\cos27^{\circ}-3\right)=\dfrac{\left(\,\cos27^{\circ}\right)\left(\,4\cos27^{\circ}-3\right)}{\cos9 ^{\circ}}$

บรรทัดนี้มาจากสูตรมุมสามเท่าหรือเปล่าครับ