Trigonometric Marathon

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

บรรทัดนี้มาจากสูตรมุมสามเท่าหรือเปล่าครับ

ใช่ครับ ขอบคุณมากครับที่ทักท้วง

งั้นขอบอกไว้ ณ ที่นี้เลย

$\cos3 A=4\cos^3 A-3\cos A$

$\sin3 A=3\sin A-4\sin^3 A$

[Real Matrik]

คุณแค่ลืมใส่กำลังสองของฟังก์ชัน $\cos$ ใน LHS น่ะครับ

[No.Name]

คิดว่าโจทย์น่าจะเป็นแบบนี้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

81.กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $\sec x-\tan x=2$ จงหาค่าของ $\sec x+\tan x$

$\sec x=2+\tan x$

$\sec^2 x=4+4\tan x+\tan^2x$

$1+\tan^2x=4+4\tan x+\tan^2x$ --------$(\sec^2x-\tan^2x=1)$

$\tan x=-\dfrac{3}{4}$

นำไปแทนค่าในโจทย์จะได้ $\sec x=\dfrac{5}{4}$

$\sec x+\tan x=\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$

[Real Matrik]

วิธีคลาสสิคครับ

$$\sec^2x-\tan^2x=1$$
$$(\sec x-tan x)(\sec x+\tan x)=1$$
$$2(\sec x+\tan x)=1$$
$$\sec x+\tan x=\frac{1}{2}$$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

วิธีคลาสสิคครับ

$$\sec^2x-\tan^2x=1$$
$$(\sec x-tan x)(\sec x+\tan x)=1$$
$$2(\sec x+\tan x)=1$$
$$\sec x+\tan x=\frac{1}{2}$$

ลืมสังเกตจากตัวนี้เลย ขอบคุณมากๆครับ

ข้อ $P_1,P_2$ ผมไม่ออกเลยอ่ะครับ จะว่าข้อ 3 ทั้งหมดเลยก็ได้

[Real Matrik]

$P_1$ นี่หลอกครับ แต่ $P_2$ คิดว่าเอาจริง

Hint $P_1$

$\tan45^๐=1$

ปล. ผมไม่อยากอ่านเฉลยมาเกริ่นให้ครับเดี๋ยวเสียอรรถรส

[No.Name]

82.จงหาค่าของ $(1+\tan1^{\circ})(1+\tan2^{\circ})(1+\tan3^{\circ})...(1+\tan44^{\circ})$

กำลังจะหลับ แต่เผอิญนึกออกพอดีเลยรีบตื่นมาเลยครับ

$(1+\tan A)(1+\tan(45-A))=1+\tan A+\tan(45-A)+\tan A \tan(45-A)=2$

เนื่องจาก

$\tan(45-A)=\dfrac{\tan45^{\circ}-\tan A}{1+\tan45^{\circ}\tan A}$

$\tan(45-A)=\dfrac{1-\tan A}{1+\tan A}$

$\left(\,\tan(45-A)\right) \left(\,1+\tan A\right) =1-\tan A$

$\tan(45-A)+\tan(45-A)\tan A+\tan A+1 =2$

เพราะฉะนั้น

$(1+\tan1^{\circ})(1+\tan2^{\circ})(1+\tan3^{\circ})...(1+\tan44^{\circ})=2^{22}$

[No.Name]

จริงด้วย $P_1$ ผมโดนหลอก 55

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

จงหาค่าของ $(1-\tan1^{\circ})(1-\tan2^{\circ})(1-\tan3^{\circ})...(1-\tan89^{\circ})$

$(1-\tan45^{\circ})=1-1=0$

$(1-\tan1^{\circ})(1-\tan2^{\circ})(1-\tan3^{\circ})...(1-\tan89^{\circ})=0$

[Real Matrik]

แวะมาเพิ่มให้ครับ (ชุดที่ 3 คงเป็นเสาร์หน้าครับ)

http://www.upload-thai.com/download....59a647e3f2777f

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

แวะมาเพิ่มให้ครับ (ชุดที่ 3 คงเป็นเสาร์หน้าครับ)

http://www.upload-thai.com/download....59a647e3f2777f

ขอ แนวคิด $S_1,S_2,S_3$ หน่อยได้ไหมครับ ยากมากๆ

[Real Matrik]

ลองใช้ตรงนี้ช่วยครับ

http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra01p01.shtml

และการหา $S_1$ ลองเลียนแบบการผลบวกของอนุกรมเลขคณิตดูครับ แล้วก็จะเป็นหนทางให้ $S_2,S_3$ ด้วย

ปล. $h_1$ ในเฉลยคำตอบคือ $x+y$ ส่วน $h_2$ คือ $y-x$ ครับ

[passer-by]

เจอโดยบังเอิญ เป็นโจทย์เก่าพอสมควร น่าจะเหมาะกับเด็กที่จะไปสอบสมาคม ม.ปลายเร็วๆนี้ครับ

หา จำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ ทุกสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC จะได้ $ \sin nA + \sin nB + \sin nC <0 $

[Thgx0312555]

ตอบ $n=4$ หรือเปล่าครับ

$Sol^n$

สมมติ $n$ เป็นจำนวนนับซึ่งสอดคล้อง

ถ้า $n \ge 9$ สามารถพิสูจน์โดย induction ว่าจะมีจำนวนเต็ม 4 จำนวนระหว่าง $\dfrac{n}{2}$ และ $n$

นั่นคือจะมี $k$ ซึ่ง $\dfrac{n}{2}<4k+1<n$
เลือก $A=B= \dfrac{4k+1}{2n} \pi, C=(1-\dfrac{4k+1}{n})\pi$ จะได้ $0 < A,B,C < \dfrac{\pi}{2}, A+B+C=\pi$

ดังนั้น $A,B,C$ เป็นมุมในสามเหลี่ยม

และ $\sin nA = \sin nB = 1, \sin nC \ge -1$
$\sin nA+\sin nB + \sin nC \ge 1$

ดังนั้น $n \le 8$

ต่อมา แทน $A=B=C = \dfrac{\pi}{3}$ จะได้ $n \equiv 4,5 \pmod 6$

ดังนั้น $n=4,5$
ถ้า $n=5$ แทน $A = B=89^{\circ},C=2^{\circ}$ จะขัดแย้ง
ดังนั้น $n$ ที่เป็นไปได้ค่าเดียว คือ $n=4$
------------------------------------------
To show that $\sin 4A +\sin 4B + \sin 4C <0$ for all triangle $ABC$

จาก $A+B+C= \pi$
ถ้ามีสองจำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $\dfrac{\pi}{4}$ จะได้ว่าอีกจำนวนมากกว่าหรือเท่ากับ$\dfrac{\pi}{2}$ ซึ่งขัดแย้ง
จะมีสองจำนวนที่มากกว่า $\dfrac{\pi}{4}$
WLOG $A,B > \dfrac{\pi}{4}$
but $A,B < \dfrac{\pi}{2}$

$\pi < 4A,4B < 2\pi$
$\sin 4A, \sin 4B <0$

$\sin 4A + \sin 4B +\sin 4C = \sin 4A+\sin 4B-\sin(4A+4B)=\sin 4A(1-\cos 4B)+\sin 4B(1-\cos 4A) < 0$
$\therefore n=4$

[passer-by]

คำตอบถูกแล้วครับ

วิธีทำถูกหมดครับ อาจจะมีเล็กๆน้อยๆตรงบรรทัดข้างล่าง ที่พิมพ์ n ตกไปครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

$\sin A = \sin B = 1, \sin C \ge -1$
$\sin A+\sin B + \sin C \ge 1$

จริงๆแล้ว อาจพิสูจน์ lemma ที่ว่า sign ของ $ \sin nA + \sin nB +\sin nC $ ขึ้นกับ sign ของ 2 เทอมในนี้ที่เหมือนกัน ก็เป็นอีกวิธีครับ

[passer-by]

แปะให้อีก 2 ข้อ ก่อนสอบสมาคม วันพรุ่งนี้

A. Simplify $ \sqrt{9-8\sin 50^{\circ}} - 4(1+\cos 80^{\circ}) $

B. ถ้า $ \sin A + \sin B +\sin C = \cos A+\cos B+ \cos C = 0$
หาค่า $ \cos^2A+ \cos^2B+ \cos^2C$