จากข้อสอบเก่าเตรียมครับ TT

[CHAOS]

1. $sin35 = a จงหา \frac{1+tan135tan115}{tan135-tan115}$

2. $หาค่า x 4.3^{1+\frac{1}{2x}} = 3^{\frac{1}{x}} + 27$

3.$ ให้คำตอบของสมการ 2(4^x) + 5(6^x) = 3(9^x) อยู่ในรูปลอการิทึม จงหาค่าแคแรกเตอริสติกลอการิทึมนั้น$

4.$ A+B+C =180 จงพิสูจน์ว่า sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC $

ถ้าเป็นไปได้ขอคำใบ้นะครับ(แต่ถ้าเป็นวิธีทำเลยก็ไม่ว่ากัน ^^)

ปล.มุมเป็นองศานะครับ

[Amankris]

1. ลองใช้สูตรมุมสองเท่า
2. เปลี่ยนตัวแปร
3. มองเป็นพหุนามกำลังสอง
4. ผลบวก $\sin$

[กิตติ]

ข้อ2.
$ 4.3^{1+\frac{1}{2x}} = 3^{\frac{1}{x}} + 27$
$12.3^{\frac{1}{2x}}= 3^{\frac{1}{x}} + 27$
$3^{\frac{1}{x}}- 12.3^{\frac{1}{2x}}+ 27=0$
$(3^{\frac{1}{x}}-9)(3^{\frac{1}{x}}-3)=0$
แค่นี้น่าไปต่อเองข้อนี้

[กิตติ]

1.1. $sin35 = a$ จงหา $\frac{1+tan135tan115}{tan135-tan115}$

จาก $tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB} $

$tan(135^\circ -115^\circ)=\frac{tan135^\circ-tan115^\circ}{1+tan135^\circ tan115^\circ}$

$tan20^\circ =tan(90^\circ-70^\circ)=cot70^\circ=cot2(35^\circ)$

ขยายความที่คุณAmankrisพูดครับ

[กิตติ]

ข้อ3. $2(4^x) + 5(6^x) = 3(9^x)$
$2(2^{2x})+5(2^x)(3^x)-3(3^{2x})=0$
$\left(\,2.2^x-3^x\right) \left(\,2^x+3.3^x\right)=0 $
เนื่องจาก $2^x+3.3^x >0,\not= 0$ จึงเหลือแค่ $2.2^x=3^x$
ไปต่อเองแล้วกัน ผมลืมเรื่องลอการิธึมไปบ้างแล้ว

[กิตติ]

$sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC $
$2A+2B+2C=360^\circ $
$2A+2B=360^\circ-2C$
$\sin (2A+2B)=\sin (360^\circ-2C)$
$\sin 2A \cos 2B+\ cos2A \sin 2B=\sin 360^\circ \cos 2C-\cos 360^\circ \sin 2C $
$\sin 2A \cos 2B+\ cos2A \sin 2B+\sin 2C=0$
$\sin 2A (1-2\sin^2B)+(1-2\sin^2A) \sin 2B+\sin 2C=0$
$sin2A + sin2B + sin2C =2\sin 2A\sin^2B+2 \ sin 2B\sin^2A$
$sin2A + sin2B + sin2C =4\sin A \ cos A\sin^2B+4 \ sin B \ cos B\sin^2A$
$sin2A + sin2B + sin2C =4\sin A \sin B(\ sinB\ cos A+\ cos B \sin A)$
$sin2A + sin2B + sin2C =4\sin A \sin B(\ sin(B+A))$
$\sin(A+B)=\sin(180^\circ-C )=\sin C$
$sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC $

[lek2554]

จะทำข้อ 4 แต่คิดว่าคุณหมอคงกำลังทำอยู่แน่ เลยไม่ทำ

ต่อจาก #5

ไม่ต้องใช้ log ก็ได้ครับ

$2\cdot 2^x=3^x$

$\left(\frac{3}{2} \right) ^x=2$

$\because \left(\frac{3}{2} \right) ^1=1.5\quad\left(\frac{3}{2} \right) ^2=2.25$

$\therefore x\approx$ 1.กว่าๆ

ดังนั้น characteristic ของ log ที่เป็นคำตอบของสมการมีค่าเท่ากับ 1

[Keehlzver]

ถึงมือหมอแล้วครับ

\[\begin{array}{cl}
& (\sin 2A+\sin 2B)+\sin 2C \\
= & 2\sin \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}+2\sin C\cos C \\
= & 2\sin (\pi -C)\cos (A-B)+2\sin C\cos (\pi -(A+B)) \\
= & 2\sin C\cos(A-B)-2\sin C\cos (A+B) \\
=& 2\sin C(\cos (A-B)-\cos (A+B)) \\
= & 2\sin C (2\sin A \sin B) \\
= & 4\sin A \sin B \sin C
\end{array} \]

ปล.ก๊อปมาจากกองหนังสือที่วางอยู่ด้านหลังครับ

[กิตติ]

พี่เล็กนี่ลางสังหรณ์แม่นมากครับพี่..บางอย่างก็ลืมไปแล้วครับ อย่างคาแรกเทอริสติก หรือ แมนทิสซ่าอะไรพวกนี้ ลืมหมดแล้ว
เห็นแล้วก็ลองทำดู....

Nice & Smart Solution ครับ.....Keehlzver
ถ้าวิธีทื่อๆตรงๆยืดๆ ต้องถามผม ถนัดนักแล

[lek2554]

#8

รถฉุกเฉินไปส่งถึงโรงพยาบาลซะก่อนแล้วครับ

[CHAOS]

ขอบคุณมากครับ

[CHAOS]

#7

1 < x < 2

x = 1.aaa

$ log x = log 1.aaa + log 10^0 $

char = 0

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

1.1. $sin35 = a$ จงหา $\frac{1+tan135tan115}{tan135-tan115}$

จาก $tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB} $

$tan(135^\circ -115^\circ)=\frac{tan135^\circ-tan115^\circ}{1+tan135^\circ tan115^\circ}$

$tan20^\circ =tan(90^\circ-70^\circ)=cot70^\circ=cot2(35^\circ)$

ขยายความที่คุณAmankrisพูดครับ

เสนอให้อีกวิธี ครับ
$\tan 135^o = -\tan 45^o = -1$
$\tan 115^o = \tan (60+55)^o =\frac{\tan 60^o+\tan 55^o}{1-\tan 60^o \tan 55^o}$ แต่ $\tan 55^o = \frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$ ส่วนที่เหลือท่าน สว.บอกว่าแค่กลืนลงคอเท่านั้น

[lek2554]

#12 อ่านคำถามให้ดี ๆ ครับ "ให้คำตอบของสมการอยู่ในรูป logarithm จงหาค่า characteristic ของ logarithm นั้น"

ทำต่อจาก #5

$2^{x+1}=3^x$

$log(2^{x+1})=log(3^x)$

$(x+1)log2=xlog3$

$xlog2+log2=xlog3$

$xlog3-xlog2=log2$

$x(log3-log2)=log2$

$x=\frac{log2}{log3-log2} =\frac{log2}{log\frac{3}{2} }=log_\frac{3}{2}2\rightarrow $ นี่เป็นคำตอบของสมการในรูป logarithm

ซึ่ง $log_\frac{3}{2}2\rightarrow = 1.7095 \rightarrow $เป็น logarithm ที่มี characteristic เท่ากับ 1

สไตล์การถามแบบนี้ อาจารย์ท่านหนึ่งที่ ร.ร.เตรียมฯ (ปัจจุบันน่าจะเกษียณแล้ว) ชอบออกข้อสอบ โดยตั้งใจให้ประมาณค่าดังที่ผมแสดงใน #7

หมายเหตุ ถ้าต้องการให้ตอบดังที่ #12 แสดงมา โจทย์ต้องถามดังนี้

กำหนดให้ $a$ เป็นคำตอบของสมการ $2(4^x)+5(6^x)=3(9^x)$ จงหาค่า characteristic ของ $log(a)$

ป.ล. #13 ดื่มน้ำตามซะหน่อยนะครับ เดี๋ยวติดคอ วันนี้อย่าลืมไปเลือกตั้งนะครับ !!!