มีโจทย์เพชรยอดมงกุฏ 2551 ลองทำดูครับ

[กิตติ]

ลองเขียนเข้าไปแบบนี้ก่อน สำหรับข้อ34

$\frac{3(5^{5^5})+7^{7^7}}{8} $
$=\frac{3(5^{5^5})}{8} +\frac{7^{7^7}}{8} $

$5^5=5^2\times 5^3=25\times 125=(3(8)+1)(15(8)+5)$
$5^{5^5}=5^{25\times 125}=(5^5)^{5\times 125}=(5^5)^{5\times 5\times 5\times 5}$
$5^5=(3(8)+1)(15(8)+5)$
จะได้ว่า้เวลากระจายแล้วพจน์ที่ไม่มี 8 คือ 8หารไม่ลงตัวคือ $5$
$(5^5)^5$ หารด้วย 8 แล้วเหลือเศษคือ $5^5$ ลองเขียนวงเล็บของ $(3(8)+1)(15(8)+5)$ ทั้งหมด5 วงเล็บจะเห็นว่าเวลากระจายแล้วพจน์ที่ไม่มีเลข 8 เลยคือ พจน์ที่เกิดจากการคูณด้วย $5$ จากวงเล็บทั้งหมด 5 วงเล็บ เมื่อเรากระจายไปอีก 3 ครั้งก็จะได้เศษเท่ากัน
วกกลับไปข้างต้น ดังนั้นจะได้ว่า เศษจากการหาร $3(5^{5^5})$ ด้วย 8 จึงเท่ากับเศษจากการหาร $3(5)$ ด้วย 8
เช่นเดียวกับ $7^{7^7}$
$7^{7^7}=7^{(7^3 \times 7^4) }=7^{\overbrace{7\times... \times7}^{7 ตัว} }$
$=(7^7)^{\overbrace{7\times... \times7}^{6 ตัว} }$
ดูแค่ $7^7$
$7^7=7^2\times 7^2\times 7^2\times 7=(6(8)+1)(6(8)+1)(6(8)+1)\times 7$
ได้เศษจากการหารด้วย 8 เท่ากับ $7$ ลองไล่แบบเดียวกันกับตัวอย่างของ $(5^5)^5$ จะได้ว่า
เศษจากการหาร $7^{7^7}$ ด้วย 8 จึงเท่ากับเศษจากการหาร $7$ ด้วย 8
ดังนั้น เศษจากการหาร $ 3(5^{5^5})+7^{7^7}$ ด้วย 8 จึงเท่ากับเศษจากการหาร $3(5)+7$ ด้วย 8

[artty60]

โจทย์ข้อ3.ใน#56$ a,b,c$ เป็นจำนวนเฉพาะ$ 20<c<40, a^2+b^2+c^2+2ab=2c(a+b)$
จงหา$a^2+b^2-c^2$

จากสมการโจทย์ได้ $c=a+b\rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab$

จำนวนเฉพาะที่เข้าเงื่อนไขโจทย์มีเพียง $31=2+29 or 29+2$

$\therefore -2ab=(-2)(2)(29)=-116$ เป็นคำตอบ

[sck]

ขอบคุณคุณกิตตินะครับที่ช่วยอธิบาย

[artty60]

ข้อ1. $a+b+c=1\,$ จงหา$\, a^3b+bc^3-a^2b+b^2c^2+2abc^2-bc^2+ab^2c+2a^2bc-abc+a^2b^2$

$(a^3b+abc^2+a^2bc)+(bc^3+abc^2+a^2bc)+(a^2b^2+b^2c^2+ab^2c)-(a^2b+bc^2+abc)$

$a(a^2b+bc^2+abc)+c(bc^2+abc+a^2b)+b(bc^2+abc+a^2b)-(a^2b+bc^2+abc)$

$(a+b+c-1)(a^2b+bc^2+abc)$

$\therefore 0\,$ เป็นคำตอบ