ข้อสอบคัดเลือกเข้าค่าย 1 ปีพ.ศ.2555 วิชาคณิตศาสตร์ ศูนย์มหาวิทยาลัยขอนแก่น

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#28
โจทย์ชัดเจนแล้วครับ

แล้วตอบเท่าไรครับ

[กิตติ]

ข้อ 6

$6x^2 + 6y^2 = 13xy$

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{13}{6}$


$2y^2 + 2z^2 =5yz $

$\frac{y}{z}+\frac{z}{y} = \frac{5}{2}$


$3z^2 + 3x^2 = 10zx$
$\frac{z}{x}+\frac{x}{z} = \frac{10}{3}$


$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

$ = 3 + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{z} +\frac{y}{z}$

$=3+\frac{13}{6}+ \frac{5}{2}+ \frac{10}{3}$
$=3+\frac{13+15+20}{6} $
$=3+8$
$=11$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 6

$6x^2 + 6y^2 = 13xy$

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{13}{6}$


$2y^2 + 2z^2 =5yz $

$\frac{y}{z}+\frac{z}{y} = \frac{5}{2}$


$3z^2 + 3x^2 = 10zx$
$\frac{z}{x}+\frac{x}{z} = \frac{10}{3}$


$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

$ = 3 + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{z} +\frac{y}{z}$

$=3+\frac{13}{6}+ \frac{5}{2}+ \frac{10}{3}$
$=3+\frac{13+15+20}{6} $
$=3+8$
$=11$

เขาทำแบบนี้นี่เอง

ขอบคุณครับ

[Povella]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

อ่านโจทย์แล้วงง งงตรงข้อความ "ไม่มีสองหลักใดๆซ้ำกัน" แปลว่าอะไร

ถ้าหมายถึง "ไม่มีเลขหลักใดซ้ำกัน" หรือเปล่า ถ้าอย่างนั้นก็ตอบ 6660 อย่างที่หมายๆคนตอบ


มีคำถามว่า 222 เรียกว่า "สามหลักซ้ำกัน" หรือเปล่า

สามหลักซ้ำกันเป็น subset ของ สองหลักซ้ำกันหรือเปล่า

หรือว่าเป็นคนละเซต หมายความว่า สามหลักซ้ำ กับ สองหลักซ้ำ เป็นคนละเซต

เขียนอะไร ทำไมต้องให้ตีความ

เขียนง่ายๆแบบที่ใช้กันทั่วไป "ไม่มีเลขหลักใดซ้ำกัน" ก็รู้เรื่องและไม่ต้องตีความกันอีก

ว่าไม๊

ผมคิดว่าโจทย์น่าจะให้คิดเล่นๆแหละครับ คำว่า"ไม่มีสองหลักใดๆ ซ้ำกัน" ก็คงหมายความว่า ถ้าเราพิจารณาทุก ๆ 2 หลัก ของเลข 3 หลักที่นำมาสร้าง ไม่มีเลขซ้ำกัน ดังนั้นโจทย์คงหมายความว่า"ไม่มีเลขใดซ้ำกันนั่นแหละครับ"
(เหมือนที่คุณกิตติ โพสต์ไว้ใน #27 ครับ)

[กิตติ]

ข้อสาม ถ้าไม่แจงกรณีก็น่าจะพอเห็นการบีบเงื่อนไขจากโจทย์
$f(-a)=2=c-ab \rightarrow c=2+ab$ เรารู้ได้ทันทีว่า $c\geqslant 2$
$f(c)=c^3+ac^2+(b+1)c=12$
$c^3+ac^2+(b+1)c-12=0$ จากตรงนี้ โจทย์กำหนดว่า $c\geqslant 0$ และเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่าของ $c$ จะเป็นไปได้คือ ตัวประกอบของ $12$ ได้แก่ $1,2,3,4,6,12$ แต่จากเงื่อนไขแรก คือ $c\geqslant 2$ จึงตัดเหลือแค่ $2,3,4,6,12$ แปลงสมการหลังอีกหน่อยแล้วจะตัดได้อีก
$c^3+ac^2+(b+1)c-12=0$
$c^2+ac+b+1=\frac{12}{c} $
$ac+b=\frac{12}{c}-c^2-1$
จากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด $a,b,c\geqslant 0$ เราจะได้ว่า $ac+b\geqslant 0$
ดังนั้น $\frac{12}{c}-c^2-1\geqslant 0$ เรารู้แล้วว่า $c\not= 0,c>0$
$12-c^3-c \geqslant 0$
$c^3+c-12 \leqslant 0$
$c^3-8+c-4 \leqslant 0$
$(c-2)(c^2+2c+4)-2\leqslant 0$
$(c-2)((c+1)^2+3)-2\leqslant 0$
จะได้ว่าค่า $c$ ที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริงมีค่าเดียวคือ $2$
เมื่อ $c=2$ จะได้ว่า $ab=0$ ซึ่งแยกสองกรณีคือ $a=0$ หรือ $b=0$
เมื่อ $b=0$ แล้ว $a=\frac{1}{2} $ ซึ่งใช้ไม่ได้
เมื่อ $a=0$ แล้ว $b=1 $ ซึ่งใช้ได้
เหลือคำตอบคือ $a=1,b=0,c=2$

[banker]

A+B+C+(D-A)+M+L +10 +(15 -A )= 100

B+C+D-A+M+L = 75

Makro ---> M+B+A+15 - A = 30

M+B = 15 ----> C + D-A + L = 60

Lotus ---> L + A +(D-A) + (15-A) = 50

L +D -A = 35

ดังนั้น C = 60 - 35 = 25

[yaguchi_junichiro]

ข้อ5ใช้กฎsinครับ