รวมโจทย์

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

1.กำหนดให้ $g(x)=\frac{x-5}{x-3} $
นิยาม $g^n(x)=(g\circ g\circ g\circ...\circ g)(x)$
จงหา $g^{2012}(2012)$

2.กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก

สมการ $xy-2556x-2012y=0$ มีกี่คำตอบ โดย $x>y+543$

3.ถ้า $f(x)=x^3+2x-3$ และ $g=f^{-1}(x)$

จงหา $ \lim_{x \to 1} \frac{f(g(x^2+x)-2)}{x-1} $

4.กำหนด $A$ คือ $\bmatrix{2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 &1 & 2}$

และ $A^{-1}=aA^2+bA+cI$ โดยที่ $a,b,c$ เป็นค่าคงตัว จงหา $a^2+b^2+c^2$

5.จงหาค่าของ $cos\frac{\pi}{2555}+ cos\frac{3\pi}{2555}+...+ cos\frac{2553\pi}{2556}$

6.$B$ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน และ $0<x<\frac{\pi}{2}$ ถ้า $B=\bmatrix{8+4sinx & 2+sinx \\ \sqrt{7}& cosA} $ จงแสดงวิธีหา $4(cosA-sin\frac{A}{2})$ โดยไม่แทนค่า x

7.กำหนด $f(x)= \frac{1+sinx}{5+4cosx}$ จงหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของ $f(x)$

[Suwiwat B]

7. ใช้สูตร $sin2A = \frac{2tanA}{1+tan^2A}$ เเละ $cos2A = \frac{1-tan^2A}{1+tan^2A}$
เเทนค่าลงไปเเล้วจัดรูปฟังก์ชันของโจทย์ จะได้ $1+\frac{2tanA-8}{tan^2A+9}$ โดยที่ $A=\frac{x}{2}$

เนื่องจาก $tan\frac{x}{2} = tanA$ เป็นฟังก์ชัน Surjective (ทั่วถึง) จาก R ไป R สามารถกำหนดให้ $tanA = a$ ได้
กำหนดให้ $f(a) = \frac{2a-8}{a^2+9}$
$f'(a) = \frac{-2a^2+16a+18}{(a^2+9)^2}$
หาค่าวิกฤตโดยให้ $f'(a)=0$ จะได้ $a=9,-1$
เมื่อตรวจสอบด้วย $f''(a)$ พบว่า $f(-1)=-1$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เเละ $f(9)=\frac{1}{9}$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
เมื่อ x มีค่ามากๆ หรือมีค่าน้อยมากๆ พบว่า f(a) มีค่าเข้าใกล้ 0

ดังนั้นค่าต่ำสุดของโจทย์คือ $1-1 = 0$ เเละค่าสูงสุดคือ $1+\frac{1}{9} = \frac{10}{9}$

[Suwiwat B]

เก็บข้อไม่ยากไปก่อน
ข้อ 1.
พบว่า $g^2(x) = \frac{2x-5}{x-2}$
$g^3(x) = \frac{3x-5}{x-1}$
$g^4(x) = x$
เป็นเเบบนี้ไปเรื่อยๆ จะได้ว่า $g^{2012}(x) = x$
ดังนั้น $g^{2012}(2012) = 2012$

[Suwiwat B]

ข้อ 4 ก่อนเเล้วกันนะครับ
ผมลองเอา $A$ คูณทั้งสองข้างของสมการเลยได้
$I = aA^3 + bA^2 + cA $
เเล้วก็คูณหา $A^3 , A^2$ ออกมาตั้งสมการ เลือกหยิบมาสามสมการจะเห็นว่า

$20a+5b+c=0$
$15a+4b+c=0$
$21a+6b+2c=1$

เเก้สมการทั้งสาม จะได้ว่า $a=1 , b=-5 , c=5$

ดังนั้น $a^2 + b^2 + c^2 = 51$

[Suwiwat B]

ข้อ 5. ถ้าเเก้ตัวส่วยของพจน์สุดท้ายเป็น 2555 น่าจะทำให้คิดได้นะครับ ??
ให้ $S = cos\frac{\pi}{2555} + cos\frac{3\pi}{2555} + ... + cos\frac{2553\pi}{2555}$
$2sin\frac{\pi}{2555}S = 2sin\frac{\pi}{2555}cos\frac{\pi}{2555} + 2sin\frac{\pi}{2555}cos\frac{3\pi}{2555} + ... + 2sin\frac{\pi}{2555}cos\frac{2553\pi}{2555}$
$2sin\frac{\pi}{2555}S = sin\frac{2554\pi}{2555} = sin\frac{\pi}{2555}$
$S = \frac{1}{2}$

ข้อ 6 นี่ ... A เป็น matrix เเล้วจะหาค่าของ cosA ได้เหรอครับ ??

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

แก้ไขแล้วครับ ข้อ 6

[Suwiwat B]

OK ครับขอบคุณครับ
ข้อ 6.
$detB = 0$ จะได้ $(8+4sinx)cosA - \sqrt{7}(2+sinx)=0$
$cosA = \frac{\sqrt{7}}{4}$
จากสูตร $cosA = 1-2sin^2 \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$
$sin\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{4-\sqrt{7}}{8}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{16}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{7}-1)^2}{16}} = \frac{\sqrt{7}-1}{4}$

ดังนั้น $4(cosA-sin\frac{A}{2})$
$= 4(\frac{\sqrt{7}}{4}-\frac{\sqrt{7}-1}{4}) = 1$

[Amankris]

โจทย์ผิดเยอะแยะเลย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

1.กำหนดให้ $g(x)=\frac{x-5}{x-3} $
นิยาม $g^n(x)=(g\circ g\circ g\circ...\circ g)(x)$
จงหา $g^{2012}(2012)$

สงสัยจะ composite ไปอนันต์ครั้ง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

3.ถ้า $f(x)=x^3+2x-3$ และ $g=f^{-1}(x)$

จงหา $ \lim_{x \to 1} \frac{f(g(x^2+x)-2)}{x-1} $

ผิดเหมือนๆกัน L I N K

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

5.จงหาค่าของ $cos\frac{\pi}{2555}+ cos\frac{3\pi}{2555}+...+ cos\frac{2553\pi}{2556}$

ไม่มีใครทำข้อนี้ได้แน่ๆ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

6.$B$ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน และ $0<x<\frac{\pi}{2}$ ถ้า $B=\bmatrix{8+4sinx & 2+sinx \\ \sqrt{7}& cosA} $ จงแสดงวิธีหา $4(cosA-sin\frac{A}{2})$ โดยไม่แทนค่า x

ถ้าเป็นแบบนี้จริง ก็มีสองคำตอบสินะ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

7.กำหนด $f(x)= \frac{1+sinx}{5+4cosx}$ จงหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของ $f(x)$

Solution_without_Calculus

จาก $9\sin x-40\cos x\le41$ และ $5+4\cos x>0$
จะได้ว่า $f(x)=\dfrac{1+\sin x}{5+4\cos x}\le\dfrac{10}{9}$ และ $f(\pi-\arcsin\dfrac{9}{41})=\dfrac{10}{9}$
ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $f(x)$ คือ $\dfrac{10}{9}$

จาก $1+\sin x\ge0$ และ $5+4\cos x>0$
จะได้ว่า $f(x)=\dfrac{1+\sin x}{5+4\cos x}\ge0$ และ $f(-\dfrac{\pi}{2})=0$
ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $f(x)$ คือ $0$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ขอบคุณคุณ Suwiwat B และคุณ Amankris มากครับ

เพิ่มโจทย์อีกครับ

1.$f(x)=(x-1)(x-2)...(x-11)$ จงหา $f'(7)$

2.ให้ $21A=\pi$ จงหาค่าของ $cos2A+cos4A+cos6A+...$

[Suwiwat B]

งั้นเริ่มข้อเเรกก่อนเลย
$f(x) = (x-7){(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)}$
$f'(x) = (x-7)'{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)} +
{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)}'(x-7)$

$f'(x) = {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)} +
{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)}'(x-7)$

$f'(7) = (6)(5)(4)(3)(2)(1)(-1)(-2)(-3)(-4) +
{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)}'(0)$

$f'(7) = 17,280$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

จาก $9\sin x-40\cos x\le41$ และ $5+4\cos x>0$
จะได้ว่า $f(x)=\dfrac{1+\sin x}{5+4\cos x}\le\dfrac{10}{9}$ และ $f(\pi-\arcsin\dfrac{9}{41})=\dfrac{10}{9}$
ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $f(x)$ คือ $\dfrac{10}{9}$

จาก $1+\sin x\ge0$ และ $5+4\cos x>0$
จะได้ว่า $f(x)=\dfrac{1+\sin x}{5+4\cos x}\ge0$ และ $f(-\dfrac{\pi}{2})=0$
ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $f(x)$ คือ $0$

ตรงสีแดง มายังไงอ่ะครับ??

[Suwiwat B]

ลองคูณไขว้ดูนะครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

เพิ่มอีกครับ

1.$x,y,z $ เป็นจำนวนเชิงซ้อน

$x+y+z=0$

$x^3+y^3+z^3=3$

$x^5+y^5+z^5=0$

จงหา $x^{2012}+y^{2012}+z^{2012}$

2.$f(x)$ เป็นพหุนามดีกรี 8

โดย $ f(m)=\frac{1}{m} $ สำหรับ $m=1,2,...,9$

จงหา $ f(10)$

[Suwiwat B]

เริ่มขี้เกียจพิมพ์ ...
เอาเเค่ outline เเล้วกันนะครับ ..
ข้อ 1. ผมจำได้ว่ามีเอกลักษณ์บางอย่างที่สามารถใช้ได้ .. เเต่ผมไม่เคยใช้เลยเพราะว่าจะใช้หลักการหา $x+y+z , xy+yz+zx$ กับ $xyz$ มาใช้ตลอด (ขี้เกียจอีก )

จาก $x+y+z = 0$ จะได้ว่า $x^3 +y^3+z^3 = 3xyz = 3$ ทำให้ $xyz=1$

พิจารณา $(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)=x^5+y^5+z^5-xyz(xy+yz+zx)$
ทำให้ได้ $xy+yz+zx=0$

จาก $x+y+z = 0 , xy+yz+zx=0 , xyz=1$ นั่นคือ $x,y,z$ เป็นรากของสมการ $t^3-1=0$
เเก้สมการออกมา ให้เป็น $x , y ,z$ เเล้วจัดเข้าเชิงขั้วยกกำลังหาคำตอบไป

ข้อ 2 เเนวนี้ปีหลังๆเจอเหลือเกินเนื่องจากข้อสอบ PAT1 จะชอบไปไหนก็ไม่รู้

กำหนดให้ $p(m) = mf(m) - 1$ จะได้ว่า $p(m) = 0$ เมื่อ $m=1,2,3,4,5,6,7,8,9$ เเละจาก $f$ เป็นพหุนามดีกรี $8$ ทำให้ $p$ เป็นพหุนามดีกรี $9$
$p(m) = a(m-1)(m-2)(m-3)...(m-9)$
$mf(m)-1 = a(m-1)(m-2)(m-3)...(m-9)$
$f(m) = \frac{{a(m-1)(m-2)(m-3)...(m-9)+1}}{m}$

เเต่เนื่องจาก $f(m)$ เป็นพหุนาม ดังนั้นถ้าหารออกมา มันจะต้องไม่มี พจน์ $\frac{1}{m}$ นี้อยู่
ดังนั้นจะได้ว่า $a = \frac{1}{9!} $

เอาไปเเทนค่าหาคำตอบ