ช่วยพิสูจน์ทฤษฎีบทผลคูณของ หรม.กับ ครน. หน่อยครับ

[SlamdunkZ]

ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ
ทำไม $(a,b)[a,b] = \left|\,ab\right|$ ล่ะครับ

[polsk133]

$ให้ (a,b)=d$

$จะได้ว่ามี x,y \in \mathbb{Z} ที่ทำให้ a=xd และ b=yd โดยที่ (x,y) = 1$

$จาก a=xd และ b=yd และ (x,y) = 1 ทำให้ได้ว่า [a,b] = xyd$

$ดังนั้น (a,b)[a,b] = (d)(xyd) = (xd)(yd) = ab$

$\therefore (a,b)[a,b] = ab$

ปล.ข้อนี้มีในข้อสอบในค่าย 1 ของ สอวน. ศูนสวนกุหลาบด้วยครับ

[kongp]

ตอนผมเรียนก็นั่งท่องจำ คล้ายแบบนี้ ใช้นับจำนวนอะไรไม่รู้ของตัวแปร เรียนสายคณิตศาสตร์ช่วงแรกๆ เหมือนหลับตาคลำ จริงไหมครับ

ตอนนี้กะว่าจะศึกษา Algebraic Number Theory อีกครั้ง แต่กะทดลองในคอมพ์เท่านั้น การที่จะต่อยอดจากในหนังสือเป็นสิ่งที่ท้าทายไม่น้อย

ปล.ไม่ได้เรียนแพทย์ เหนื่อยที่จะไปนั่งจำ

[yaguchi_junichiro]

ให้ (a,b) คือ k [a.b] คือ m
จะได้ a = kx , b = ky
ซึ่ง m = kxy
ab = kkxy = km
ดังนั้น ห.ร.ม. x ค.ร.น. = ab

[Euler-Fermat]

ใช้ ทฤษฏีบทหลักมูลของเลขคณิตก็ได้นะครับ

[Anarist]

ลองอีกแบบบ้าง
(สมมติ a,b > 0 ) ให้ (a,b) = d และ [a,b] = m

สังเกตุว่าทั้ง a,b หาร ab / d ลงตัว จากนิยาม ค.ร.น m หาร ab /d ลงตัว
ได้ว่า $md \leq ab$

อีกทางนึง เนื่องจาก $a = \frac{ab}{m} \cdot \frac{m}{b} $ ได้ว่า ab/m หาร a ลงตัว (a,b หาร ab ลงตัว ฉะนั้น m หาร ab ลงตัว)
ทำนองเดียวกัน ab/m หาร b ลงตัว โดยนิยาม ห.ร.ม. ab/m หาร d ลงตัว
จึงได้ $ab \leq md$ เพราะฉะนั้น ab = md