โจทย์นี้แก้ยังไงครับ

[cycrop]

โจทย์ ordinary differential equation ครับ

1. $y^{(4)}(x)-y(x)=xsin(x)$

2. $y'''(x)+2y''(x)+4y'(x)+8y(x)=8+8sin(2x)-8cos(2x)$

ช่วยแสดงวิธีทำด้วยนะครับ ขอบคุณมากครับ

[The Cro_no]

ข้อที่ 1 assume y = e^mx solve y(4)-y = 0 ก่อนจะได้
m^4 -1 = 0 ได้ m = 1,-1,i,-i ได้ y = c1e^x + c2e^-x+c3cos(x)+c4sin(x)
จะเห็นว่ามีพจน์ sin, cos อยู่แล้ว
assume y = Ax^2cos(x)+Bx^2sin(x)+Cx*cos(x)+Dx*sin(x)
วิธีนี้แล้วแต่ ความถนัดของแต่ละคนนะคับ
ก็ diff ไป 4 ครั้งแล้วจะได้ A = 1/8, B = 0, C = -3/8, D = 0
ได้ y(x) = c1e^x + c2e^-x+c3cos(x)+c4sin(x) + (1/8)x^2cos(x)-(3/8)*xsin(x)
คำตอบผิด ก็คงมาจาก diff ผิด ก็อย่าว่าอะไรผมเลยนะ
2 ทำคล้ายกันคับ
assume y = e^mx
m^3+2m^2+4m+8 = 0 หาคำตอบทั่วไปก่อนนะคับ
ได้ m = -2, 2i, -2i
ได้ y = c1e^-2x+c2cos(2x)+c3sin(2x) ก็เหมือนเดิมคับ มี sin(2x) cos(2x) อยู่แล้ว
แทน y = A +Bxcos(x) +Cxsin(x) + Dcos^2(x)+E(sin^2(x))
ทำไปเรื่อย ๆ ได้คำตอบเป็น
y = c1e^-2x+c2cos(2x)+c3sin(2x)+sin^2(x)-xsin(x)+1/2
ทำผิดอะไรอย่าว่านะคับ