ช่วยหน่อยครับ

[Siren-Of-Step]

1.Prove that $7$ divides $3^{2n+1} + 2^{n+2} $ for all natural numbers n
2. find the digit of $7^{7^7}$

[nongtum]

1. ให้ $n= 0,1,2,\dots$ จะได้ $3^{2n+1} + 2^{n+2}\equiv3\cdot9^{n} + 4\cdot2^{n}\equiv3\cdot2^{n} + 4\cdot2^{n}\equiv (3+4)2^n\equiv 0\pmod7$

2. จะให้หาหลักไหนครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อ 2 ให้หาจำนวนหลักอะครับ ผมเดา ว่าใช้ (mod 10) ถูกไหมครับ

[nongtum]

ถ้าหาแค่หลักหน่วย ก็ใช้ mod 10 ได้ครับ แต่ถ้าหาจำนวนหลัก อาจต้องใช้ log ครับ ซึ่งถ้าจะถามแบบนั้นน่าจะระบุในโจทย์ให้ชัดๆกว่านี้ครับ

[{([Son'car])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

1. ให้ $n= 0,1,2,\dots$ จะได้ $3^{2n+1} + 2^{n+2}\equiv3\cdot9^{n} + 4\cdot2^{n}\equiv3\cdot2^{n} + 4\cdot2^{n}\equiv (3+4)2^n\equiv 0\pmod7$

2. จะให้หาหลักไหนครับ

ตรง$\equiv3\cdot9^{n} + 4\cdot2^{n}มาเป็น\equiv3\cdot2^{n} + 4\cdot2^{n}$ไงอะครับ

[กิตติ]

ผมใช้modไม่เป็น พยายามอ่านแล้วแต่ยังไม่ค่อยเข้าใจ เห็นที่คุณตั้มเขียนแล้วมันคล้ายกับที่ผมใช้ทวินามพิสูจน์เลยครับ
ผมแปลง$3^{2n+1} = 3.3^{2n} =3.(3^2)^n =3.(9)^n =3.(7+2)^n$
จากการกระจาย$(7+2)^n$ จะมีพจน์ที่ไม่มี 7 เป็นตัวประกอบคือ $2^n$
ดังนั้น$3.(7+2)^n$ มีพจน์ที่7หารไม่ลงตัวคือ$3.2^n$
มาดูที่$2^{n+2} = 4.2^n$ เมื่อรวมกับ $3.2^n$ จะได้$(4+3).2^n$ซึ่งก็คือ$7.2^n$ซึ่ง7หารลงตัว
ดังนั้น$3^{2n+1}+2^{n+2}$จึงหารด้วย 7 ลงตัว

โทษทีครับ ลืมดูว่ากำลังคุยกันเรื่องmod....ตามสบายกันเลยครับ
เดี๋ยวนี้ห้องม.ต้น เขาก็คุยกันเรื่องmodแล้ว

[nongtum]

จะอธิบาย #5 แบบ #6 ก็ได้ครับ เพราะมันก็ใช้แนวคิดเดียวกัน เพียงแค่เขียนคนละแบบครับ

หลังๆ ผมว่าหากจะมัวมาแต่กำหนดว่ากระทรวงฯกำหนดแค่ไหน ต้องเอาแค่นั้น คงไม่พอใช้แข่งหรือทำโจทย์ยากๆละครับ
แต่ผมยังเชื่ออยู่นะ ว่าโจทย์ที่อิงไอเดียมาก โดยใช้แนวคิดพื้นฐานมากๆ แบบเส้นผมบังภูเขา ยังมีรอให้ค้นพบอีกเยอะครับ