พิสูจน์พีชคณิตของ สอวน. ให้หน่อยคับ

[ภูษิต นวลพิจิตร]

เขาบอกให้สังเกตและก้อตั้งสมมติสำหรับกรณีทั่วไป และก้อพิสูจน์สมมติฐาน

$3^2+4^2 = 5^2$

$5^2+12^2 = 13^2$

$7^2+24^2 = 25^2$

$9^2+40^2 = 41^2$

ผมได้ความสัมพันธ์คือ

${k^2+(a_nk+a_n)^2 = (a_nk+n+1)^2}$ โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มคี่มากกว่า 1

k ต้องอยู่ตำแหน่งที่ n
ช่วยพิสูจน์ให้หน่อยคับว่ามันเปนจริง มีวิธีป่าวคับ ที่ไม่ต้องใช้การแทนค่าตัวเลข

[nong_jae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ภูษิต นวลพิจิตร

เขาบอกให้สังเกตและก้อตั้งสมมติสำหรับกรณีทั่วไป และก้อพิสูจน์สมมติฐาน

$3^2+4^2 = 5^2$

$5^2+12^2 = 13^2$

$7^2+24^2 = 25^2$

$9^2+40^2 = 41^2$

ผมได้ความสัมพันธ์คือ

${k^2+(a_nk+a_n)^2 = (a_nk+n+1)^2}$ โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มคี่มากกว่า 1

k ต้องอยู่ตำแหน่งที่ n
ช่วยพิสูจน์ให้หน่อยคับว่ามันเปนจริง มีวิธีป่าวคับ ที่ไม่ต้องใช้การแทนค่าตัวเลข

ถ้าตามที่คุณภูษิต นวลพิจิตรบอก มันน่าจะเป็นแบบนี้มากกว่านะคะ

$k^2+(kn+n)^2=(kn+n+1)^2$
แล้วก็กระจาย จัดรูป

[LightLucifer]

คือผมว่าเปลี่ยน $n$ เป็น $\frac{k-1}{2}$ จะดูดีกว่านะ ^^

[ภูษิต นวลพิจิตร]

ขอบคุณคับ ที่ตอบของผม

$ a_n$ คือ การบอกตำแหน่งของลำดับคับ ว่าอยู่ตำแหน่งที่ n ในเรื่องลำดับและอนุกรมคับ

ซึ่งมันก้อเหมือนกันกับคุณ nong_jae คับ แต่คือผมใส่ไปมันจาชัดเจนกว่าไงคับ

เช่น k = 11 ค่า n = 5
k = 13 ค่า n = 6

ยังงี้อ่ะคับ

ช่วยหาวิธีพิสูจน์หน่อยนะคับ

[Suwiwat B]

ผมคิดว่าน่าจะใช่ Mathematical Induction นะครับ

[ผู้หลงใหลในการคำนวณ]

ของผมใช้ความสัมพันธ์ดังนี้ครับ

$\left(2n+1\right)^2+\left(a_n\right)^2=\left(a_n+1\right)^2$

ให้ $a_n=a_{n-1}+4n$ และ $a_0=0$

จากนั้นใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ออกมาครับ

ผิดพลาดยังไงโปรดชี้แนะด้วยครับ

[LightLucifer]

ผมว่าเค้าตั้งใจให้พิสูจน์อันนี้มากกว่ามั๊ง

$k^2+(\frac{k^2-1}{2} )^2=(\frac{k^2+1}{2} )^2$

[ภูษิต นวลพิจิตร]

อิอ

ไม่รุ้ดิ

แต่เขาให้เลขมาแล้วหาความสัมพันอ่ะคับ

คือถ้ามองก้อจาบอกได้ว่าเปนตัวอารายต่อไป แต่มิสามารถพิสูจน์

[Slurpee]

อีกอันแล้วกันครับจาก หนังสือ สอวน.ครับต่อกันครับ
$$ 1^2=\frac{1*2*3}{6} $$
$$ 1^2+3^2=\frac{3*4*5}{6} $$
$$1^2+3^2+5^2=\frac{5*6*7}{6} $$
แล้วอันนี้จะได้ว่ายังไงครับ

[XIIIX]

$สมมติฐาน1^2+3^2+5^2+...+k^2 =\frac{\displaystyle{(k)(k+1)(k+2)}}{\displaystyle{6}} \\
Induction \qquad P(1)=1=\frac{\displaystyle{1*2*3}}{\displaystyle{6}}=1\\
สมมุติ P(k) เป็นจริงแล้วต้องแสดงP(k+1)เป็นจริง\\
\begin{array}{c}1^2+3^2+5^2+...+k^2+(k+2)^2=\frac{\displaystyle{(k)(k+1)(k+2)}}{\displaystyle{6}}+(k+2)^2\\
=\frac{\displaystyle{(k)(k+1)(k+2)+6(k+2)^2}}{\displaystyle{6}}\\=\frac{\displaystyle{(k+2)(k(k+1)+6(k+2)}}{\displaystyle{6}}\\
=\frac{\displaystyle{(k+2)(k^2+7k+12)}}{\displaystyle{6}}\\=\frac{\displaystyle{(k+2)(k+3)(k+4)}}{\displaystyle{6}}\end{array}\\
P(k+1)เป็นจริงเพราะฉะนั้น1^2+3^2+5^2+...+k^2 =\frac{\displaystyle{(k)(k+1)(k+2)}}{\displaystyle{6}}เป็นจริงจากการInduction $