โจทย์ Calculus ไม่รู้เหตุผล

[Pythagoras]

โจทย์ $$\int_{0}^{\frac{a}{2} }\,\sqrt{a^2-x^2} dx (a>0)$$
จะทำโดย ใ้ช้วิธี การอินทิเกรตโดยการแทนค่า

[Sol] $$ ให้ x = asin\theta (-\frac{\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}) $$
$$ แล้ว dx = a cos\theta d\theta $$
$$ เมื่อ x = 0 , \theta = 0 เมื่อ x = \frac{a}{2} , \theta = \frac{\pi }{6} $$
$$ \sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-(asin\theta )^2} = a\left|\,\right. cos\theta \left.\,\right| = acos\theta (\because cos \theta \geqslant 0) $$
$$ \therefore \int_{0}^{\frac{a}{2} }\,\sqrt{a^2-x^2} dx $$
$$= \int_{0}^{\frac{\pi }{6} }\,a^2cos^2\theta d\theta $$
$$ = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi }{6} }\,(1+cos2\theta )d\theta (\because cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta }{2}) $$
$$ = \frac{a^2}{2}\left[\,\right. \theta +\frac{1}{2}sin2\theta \left.\,\right] ( 0 ถึง \frac{\pi }{ุ6}) $$
$$ = (\frac{\pi }{12}+\frac{\sqrt{3} }{8})a^2 $$

สงสัยว่า ตรง "$ ให้ x = asin\theta (-\frac{\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}) $" ตรงเงื่อนไข $(-\frac{\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2})$ เงื่อนไขนี้มาจากไหนครับ? ทำไมต้องให้เป็นเงื่อนไขนี้?

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pythagoras

โจทย์ $$\int_{0}^{\frac{a}{2} }\,\sqrt{a^2-x^2} dx (a>0)$$
จะทำโดย ใ้ช้วิธี การอินทิเกรตโดยการแทนค่า

[Sol] $$ ให้ x = asin\theta (-\frac{\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}) $$
$$ แล้ว dx = a cos\theta d\theta $$
$$ เมื่อ x = 0 , \theta = 0 เมื่อ x = \frac{a}{2} , \theta = \frac{\pi }{6} $$
$$ \sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-(asin\theta )^2} = a\left|\,\right. cos\theta \left.\,\right| = acos\theta (\because cos \theta \geqslant 0) $$
$$ \therefore \int_{0}^{\frac{a}{2} }\,\sqrt{a^2-x^2} dx $$
$$= \int_{0}^{\frac{\pi }{6} }\,a^2cos^2\theta d\theta $$
$$ = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi }{6} }\,(1+cos2\theta )d\theta (\because cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta }{2}) $$
$$ = \frac{a^2}{2}\left[\,\right. \theta +\frac{1}{2}sin2\theta \left.\,\right] ( 0 ถึง \frac{\pi }{ุ6}) $$
$$ = (\frac{\pi }{12}+\frac{\sqrt{3} }{8})a^2 $$

สงสัยว่า ตรง "$ ให้ x = asin\theta (-\frac{\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}) $" ตรงเงื่อนไข $(-\frac{\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2})$ เงื่อนไขนี้มาจากไหนครับ? ทำไมต้องให้เป็นเงื่อนไขนี้?

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

ตามความเข้าใจน่าจะเป็นผลจากบรรทัดที่4ครับ
เมื่อแทนค่าแล้วจะได้$\left|\,\right. cos\theta \left.\,\right|$ เลยให้ช่วง $\theta$ ที่ทำให้ cos เป็นบวกมั้งครับ

[-InnoXenT-]

เพราะว่า เมื่อกำหนดให้ $x = a\sin{\theta}$ แล้ว ในทางกลับกัน $\sin^{-1}{(\frac{x}{a})} = \theta$

เช่นกัน และ ฟังก์ชัน $arcsin$ มี Range อยู่ในช่วง $\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} \,\right] $

เมื่อเราแทนค่าด้วยฟังก์ชันอื่น ก็เหตุผลเดียวกัน

[PP_nine]

ที่ใส่เงื่อนไขก็น่าจะเป็นที่ตรง $\sqrt{a^2-x^2} $
เพราะมีแสควร์รูทแล้ว ข้างในต้องมากกว่า 0
ดังนั้น $x^2\leqslant a^2 \Rightarrow -a\leqslant x\leqslant a$
หรือพูดง่ายๆก็คือ เราสามารถเปลี่ยน x ให้อยู่ในรูปของ a ได้เป็น $x=asin\theta$ หรือ $x=acos\theta $
แต่ถ้าเราใช้ cos มันจะยุ่งยากตรงถอด absolute น่ะครับ เลยต้องใช้ $x=asin\theta $
และก็ต้องกำหนดของเขตของ $\theta $ เพื่อความง่ายในการหาค่า $\theta $ เมื่อเทียบกับ x (ไม่งั้นจะได้ค่า $\theta $ มามากมายจากฟังก์ชันตรีโกณ)