ไม่เข้าใจตรีโกณครับ ช่วยหน่อยนะครับ

[Art_ninja]

Let $x,y,z$ be real number with $x\geq y\geq z\geq \frac{\pi }{12}$ such that $x+y+z=\frac{\pi}{2}$ Find the maximum and minimum values of the product $cos{x}$ $sin{y}$ $cos{z}$
คิดมาหลายวันแล้วครับ คิดไม่ออก
ช่วยหน่อยนะครับ

[nooonuii]

$x+y+z=\dfrac{\pi}{2}$ ?

[Art_ninja]

ขออภัยครับ แก้ให้แล้วครับ

[nooonuii]

ข้อนี้ยากจังครับ อยากทราบว่าไปได้แต่ใดมา เหมือนผมเองก็เคยเห็นคลับคล้ายคลับคลา แต่อนิจจายังคิดไม่ออก

ลองดูที่ผมคิดค้างไว้ครับ เผื่อทำอะไรต่อได้ ไว้ว่างๆจะมาช่วยคิดต่อครับ

$\cos{x}\sin{y}\cos{z} = \cos{x}\cos{(x+z)}\cos{z}$

$=\cos^2{x}\cos^2{z}-\dfrac{1}{4}\sin{2x}\sin{2z}$

$=\dfrac{1+\cos{2x}\cos{2z}-\cos{2y}}{4}$

จากเงื่อนไขโจทย์ได้ว่า

$\dfrac{\pi}{4}<x+z<\dfrac{\pi}{2}$ และ $\dfrac{\pi}{12}\leq z\leq y<\dfrac{\pi}{4}$

[Art_ninja]

ข้อนี้เป็นโจทย์ของ China ปี 1997 ครับ
ผมนั่งหาโดย google ไปเรื่ิอยๆ ก็เจอข้อนี้ครับ

[gon]

ลองดูนะครับว่ามีตรงไหนที่คิดว่าผิดหรือเปล่า

หาค่าสูงสุด :
cos x sin y cos z
= $\frac{1}{2}$[ cos(x+z) + cos(x-z) ]sin y
= $\frac{1}{2}$[ cos($\frac{\pi}{2}$ - y) + cos(x-z) ]sin y
= $\frac{1}{2}$[sin y + cos(x-z) ] sin y
$\le \frac{1}{2}$[sin y + cos 0]sin y เมื่อ x-z = 0 (นั่นคือ x = y = z = $\frac{\pi}{6}$)
= $\frac{1}{2}$sin y(1 + sin y)
= $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}(1+ \frac{1}{2}) = \frac{3}{8}$

สรุปค่าสูงสุดเกิดเมื่อ x = y = z = $\frac{\pi}{6}$ คือ $\frac{3}{8}$

หาค่าต่ำสุด :
cos x sin y cos z
= $\frac{1}{2}$[sin y + cos(x-z) ] sin y
$\ge \frac{1}{2}[\sin \frac{\pi}{12} + \cos(x-z)] \sin \frac{\pi}{12}$
(เพราะว่า ในช่วง $[\pi/12, \pi/2]$ sine เป็นฟังก์ชันเพิ่ม)
แสดงว่า y = z = $\pi/12$ ดังนั้น x = $\pi/3$
= $\frac{1}{2}[\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}]\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$
= $\frac{1}{8}$

สรุป ค่าต่ำสุดเกิดเมื่อ x = $\pi/3$ , y = z = $\pi/12$ คือ $\frac{1}{8}$

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ลองดูนะครับว่ามีตรงไหนที่คิดว่าผิดหรือเปล่า

หาค่าสูงสุด :
cos x sin y cos z
= $\frac{1}{2}$[ cos(x+z) + cos(x-z) ]sin y
= $\frac{1}{2}$[ cos($\frac{\pi}{2}$ - y) + cos(x-z) ]sin y
= $\frac{1}{2}$[sin y + cos(x-z) ] sin y
$\le \frac{1}{2}$[sin y + cos 0]sin y เมื่อ x-z = 0 (นั่นคือ x = y = z = $\frac{\pi}{6}$)
= $\frac{1}{2}$sin y(1 + sin y)
= $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}(1+ \frac{1}{2}) = \frac{3}{8}$

สรุปค่าสูงสุดเกิดเมื่อ x = y = z = $\frac{\pi}{6}$ คือ $\frac{3}{8}$

ผมคิดได้ไม่เหมือนกันครับ
แต่ผมคิดได้มากกว่า $\frac{3}{8}$ ครับ ถ้าผิดก็บอกกันด้วยนะครับ
จากโจทย์จะได้ว่า
$\cos x \sin y \cos z = \frac{1}{2}\cos z[\sin(x+y)-\sin(x-y)]\leq \frac{1}{2}\cos^2z $
และจากสูตรมุม 2 เท่าและ $z\geq \frac{\pi}{12} $จะได้ว่า
$\frac{1}{2}\cos^2z=\frac{1}{4}(1+\cos 2z)\leq \frac{1}{4}(1+\cos \frac{\pi}{6} )=\frac{2+\sqrt{3} }{8}$
จึงได้ว่าค่าสูงสุดของพจน์นี้คือ $\frac{2+\sqrt{3} }{8}$

[nooonuii]

ขออภัยครับ เข้าใจผิด

[gon]

ตรงนี้พี่พลาดเองครับ ที่ไม่ได้คิดให้รอบคอบ (ลืมวน) ซึ่งคุณ Art_ninja ลองวนดูแล้วปรากฎว่าได้มากกว่า และค่าดังกล่าวมีอยู่จริงครับ เกิดเมื่อ $x = y = \frac{5\pi}{24} , z = \frac{\pi}{12}$

เพราะว่าตรง $\sin(x+y) - \sin(x-y) = \cos z - sin(x-y) \le \cos z \iff \sin(x-y) \ge = 0$ ซึ่งเป็นสมการเมื่อ x = y

และจาก 1 + cos 2z แต่ cos z เป็นฟังก์ชันลดในควอดรันต์ที่ 1 ดังนั้น มันจะมากสุดเมื่อ 2z มีค่าน้อยสุด นั่นคือ $z = \frac{\pi}{12}$

อีกวันสองวันจะคิดให้รอบคอบอีกทีครับ กำลังสงสัยอยู่ว่าอันแรกมันมีตรรกะที่พลาดตรงไหน ที่ทำให้เกิดช่องว่าง ถ้าดูคร่าวๆเหมือนจะเกี่ยวกับกำลังสองสมบูรณ์

[Art_ninja]

ขอเอาข้อใหม่มาให้ช่วยคิดต่อนะครับ เพราะว่ายังคิดไม่ออกตามเคย
เอาเป็นว่าช่วยคิดหน่อยนะครับ
Find the minimum value of
$\left|\sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\sec x +\csc x\right|$
for real numbers x
ถูกใจไหมครับ
ไม่ทราบว่าจะใช้แคลคูลัสได้ไหมครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

ขอเอาข้อใหม่มาให้ช่วยคิดต่อนะครับ เพราะว่ายังคิดไม่ออกตามเคย
เอาเป็นว่าช่วยคิดหน่อยนะครับ
Find the minimum value of
$\left|\sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\sec x +\csc x\right|$
for real numbers x
ถูกใจไหมครับ
ไม่ทราบว่าจะใช้แคลคูลัสได้ไหมครับ

ข้อนี้โจทย์ putnam เก่าครับ เคยคุยกันไปแล้วเมื่อ 3 ปีก่อน ลองดูนะครับทำได้หลายวิธี
minimum value

เวลาโพสต์โจทย์ สมมติว่าถ้ารู้ที่มา บอกที่มาได้จะดีมากครับ เพราะจะได้ค้นง่ายหน่อย ถ้าไม่รู้ก็แล้วไปครัับ. เผอิญข้อนี้จำได้ว่าเคยตอบไปแล้ว เลยนึกออกทันที

[Art_ninja]

โอเคครับ พอดีว่าลอง diff แล้วก็ได้เหมือนกันครับ (เล่นเอาหอบแฮ่กๆเลย )
ถ้างั้นผมจะโพสต์โจทย์ข้อใหม่ครับ
(ไม่ระบุรายการ ไม่ปรากฎจริงๆนะครับ)
Determine the minimum value of
$$\frac{\sec ^4 \alpha }{\tan ^2 \beta }+\frac{\sec ^4 \beta }{\tan ^2 \alpha }$$
over all $\alpha ,\beta \not= \frac{k\pi}{2} ;\forall k\in \mathbb{Z} $

[Art_ninja]

มีแถมให้อีกข้อครับ(China 2000)
In triangle ABC $a\leq b \leq c$.As a function of angle C,determine the conditions under which $a+b-2R-2r$ is a positive, negative or zero.
หมายเหตุ R=รัศมีวงกลมล้อมรอบ r=รัศมีวงกลมแนบใน
รบกวนด้วยนะครับ

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

Determine the minimum value of
$$\frac{\sec ^4 \alpha }{\tan ^2 \beta }+\frac{\sec ^4 \beta }{\tan ^2 \alpha }$$
over all $\alpha ,\beta \not= \frac{k\pi}{2} ;\forall k\in \mathbb{Z} $

Solution
ให้ $a=\tan^2 \alpha $ และ $b=\tan^2 \beta $
จะได้ว่า $\frac{\sec ^4 \alpha }{\tan ^2 \beta }+\frac{\sec ^4 \beta }{\tan ^2 \alpha }$
$=\frac{(1+\tan^2 \alpha)^2 }{\tan ^2 \beta }+\frac{(1+\tan ^2 \beta)^2 }{\tan ^2 \alpha }$
$=\frac{(1+a)^2 }{b}+\frac{(1+b)^2}{a}$ และจาก $a,b\geq 0$จะได้ว่า
$\frac{(1+a)^2 }{b}+\frac{(1+b)^2}{a}$
$= \frac{a^2+2a+1 }{b}+\frac{b^2+2b+1}{a}$
$=(\frac{a^2}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{b^2}{a})+2(\frac{a }{b}+\frac{b}{a})$
$\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^2}{b}\cdot \frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{b^2}{a}}+4\sqrt{\frac{a }{b}\cdot \frac{b}{a}}=4+4=8 $
ดังนั้นค่า $min(\frac{\sec ^4 \alpha }{\tan ^2 \beta }+\frac{\sec ^4 \beta }{\tan ^2 \alpha })=8$
คิดออกแล้วครับ!!!
(ถามเองเฉลยเองซะงั้นครับ )

[nooonuii]

คำตอบถูกแล้วครับ แต่ตอนท้ายๆมีพิมพ์ผิดอยู่ครับ ลองหาดู