prove ให้หน่อยครับ

[Slurpee]

If x > 0, from
$$\sqrt{x+1} - \sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$$
prove that
$$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}<\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Use this to prove that if n > 1 is a positive integer, then
$$2\sqrt{n+1}-2<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+ ... +\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-1$$
รบกวนด้วยนะครับ

[Slurpee]

ในส่วนแรกผมทำได้งี้ครับ

ได้ว่า $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}< \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}<\frac{1}{2\sqrt{x}}$
ซึ่ง $2\sqrt{x+1}>\sqrt{x+1}+\sqrt{x}>2\sqrt{x}$
จึงทำให้อสมการเป็นจริงครับ
แต่ส่วนที่สองยังทำไม่ได้เลยครับ

[nooonuii]

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}< \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}<\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}< \sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{1}{\sqrt{x+1}}< 2(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})<\frac{1}{\sqrt{x}}$

Let $x=1,2,...,n$.

[Slurpee]

พี่ nooonuii ครับยังไม่ค่อยเข้าใจเลยครับรบกวนพี่ช่วยอธิบายหน่อยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}< \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}<\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}< \sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{1}{\sqrt{x+1}}< 2(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})<\frac{1}{\sqrt{x}}$

Let $x=1,2,...,n$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}< 2(\sqrt{2}-\sqrt{1})$

$\frac{1}{\sqrt{3}}< 2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$\frac{1}{\sqrt{4}}< 2(\sqrt{4}-\sqrt{3})$

$~~~~~~~~~\vdots$

$\frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

Then add every line.

[Slurpee]

ครับผม ขอบคุณมากครับ

อีกสักข้อนะครับ

prove that if ${r}\geqslant {s}\geqslant{t}\geqslant{u}\geqslant{v}$ then
$$r^2-s^2+t^2-u^2+v^2\geqslant (r-s+t-u+v)^2$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slurpee

prove that if ${r}\geqslant {s}\geqslant{t}\geqslant{u}\geqslant{v}$ then
$$r^2-s^2+t^2-u^2+v^2\geqslant (r-s+t-u+v)^2$$

โจทย์สวยจังครับ ไปหามาจากไหนเนี่ย

ข้อนี้ใช้แค่อสมการพื้นฐานครับ ก็ไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากกระจายออกมาซึ่งจะได้

$ru+rs+st+sv+tu+uv-rt-rv-s^2-su-tv-u^2\geq 0$

คราวนี้ก็ลองจัดรูปให้เห็นได้ชัดว่าอสมการเป็นจริง

แนะให้ว่า ลองรวมก้อนที่มี $r$ ให้หมดก่อน เพราะ $r$ มีค่ามากที่สุด

จากนั้น ส่วนที่เหลือก็รวมก้อนที่มี $s$ ให้หมดก่อน เพราะ $s$ มีค่ารองลงมา

ต่อไปก็รวมก้อนที่มี $t$ ไว้ด้วยกัน แล้วตามด้วยก้อนที่มี $u$ ตามลำดับ

มองเห็นตัวประกอบร่วมบ้างไหม ?

[Slurpee]

สำหรับที่มาโจทย์ครับ http://www.openmathtext.org/lecture_notes/ พี่ gon แนะนำมาครับ
ส่วนโจทย์นี้มาจากเล่ม junior_problem_seminar ครับ