Algebra : Group

[B บ ....]

งง ครับ ไม่รู้จะทำไง นึกภาพสมาชิกไม่ออกเลย เลือกเอกลักษณ์ไม่ได้
1. ให้ $G\not= \varnothing $และมีการดำเนินการบน G สอดคล้องสมบัติเปลี่ยนหมู่และสมบัติ
$$ ถ้า \ \ a,b\in G \ \ แล้วจะมี \ \ c,d\in G \ ซึ่งสอดคล้องว่า \ \ ca=b,ad=b $$
จงแสดงว่า G เป็น group

2. ให้ $G\not= \varnothing $และมีการดำเนินการบน G สอดคล้องสมบัติเปลี่ยนหมู่และสมบัติ
(1)$$ มี e\in G s.t. ea=a \ for \ all \ a \ in \ G$$
$$(2) For \ all \ a \ in \ G \ ,then \ there \ exists \ such \ b \ in \ G \ satisfies \ ba=e$$
จงแสดงว่า G เป็น group ข้อ 2 ทำๆไปเหมือนจะออก แต่ก็แสดงไม่ได้ซักทีว่า e สอดคล้อง ae=a ด้วย -*-

[B บ ....]

3. Prove that G is abelian group if and only if $(ab)^n = a^nb^n \ for \ all \ positive \ integer \ n \ and \ all \ a,b \ in \ G$
ขาไปทำได้ ขากลับ งง แค่รู้ว่า $(ab)^n = a^nb^n$ จะรู้ว่า * มีสมบัติปิดบน G ได้ยังไง + มีเอกลักษณ์คืออะไร + อินเวอร์หาไง -*-

[Lekkoksung]

(2) Let $a$ be any element of $G$. Then
there is $b \in G$ such that $ba=e$. For $b \in G$, there exists $c \in G$
such that $cb=e$. Then $a=ea=(cb)a=c(ba)=ce$ and
$ab=(ce)b=c(eb)=cb=e$. Hence, $ab=e=ba$. Also
$ae=a(ba)=(ab)a=ea=a$. Thus, $ae=a=ea$.
This shows that $e$ is the identity element of $G$. And
$b$ is an inverse of $G$. Therefore $G$ is a group.

(1) Let $a \in G$. By assumption, there is $u \in G$. Then $ua=a$.
Let $b \in G$. By assumption, there is $c \in G$. Then $ac=b$. Now
$$ub=u(ac)=(ua)c=ac=b.$$
Since $b$ was an arbitrary element of $G$, $G$ has a left identity.
Again by assumption, there is $d \in G$ such that $da=u$. This shows that
$a$ has left inverse. Hence by (2), $G$ is a group.

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

3. Prove that G is abelian group if and only if $(ab)^n = a^nb^n \ for \ all \ positive \ integer \ n \ and \ all \ a,b \ in \ G$
ขาไปทำได้ ขากลับ งง แค่รู้ว่า $(ab)^n = a^nb^n$ จะรู้ว่า * มีสมบัติปิดบน G ได้ยังไง + มีเอกลักษณ์คืออะไร + อินเวอร์หาไง -*-

โจทย์เป็นอย่างนี้จริงๆหรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

3. Prove that G is abelian group if and only if $(ab)^n = a^nb^n \ for \ all \ positive \ integer \ n \ and \ all \ a,b \ in \ G$
ขาไปทำได้ ขากลับ งง แค่รู้ว่า $(ab)^n = a^nb^n$ จะรู้ว่า * มีสมบัติปิดบน G ได้ยังไง + มีเอกลักษณ์คืออะไร + อินเวอร์หาไง -*-

ข้อนี้เขาสมมติไว้แล้วว่า $G$ เป็น group ครับ เหลือแค่พิสูจน์ว่ามัน abelian ซึ่งแทน $n=2$ ก็จบแล้ว

[B บ ....]

ขอบคุณครับ