โจทย์ Expo and log

[Hutchjang]

ข้อนี้มีวิธีคิดยังไงครับ อยากทราบวิธีคิดอ่ะครับ เป็นโจทย์ ASMO M.5 เฉลย = 3 ครับ

[NaPrai]

(ก่อนเข้าแนวคิด) สังเกตว่า ถ้าเราแทน $x$ ด้วย $8-x$ จะได้สมการที่คล้ายกับอีกสมการเลยนะ เหมือนบอกใบ้อะไรบางอย่าง 5555

แนวคิด ให้ $f(u)=7^u+5u-48$ สังเกตว่า $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มแท้ ฟังก์ชันต่อเนื่อง และเป็นฟังก์ชันทั่วถึง จากสมบัติที่กล่าวมาจึงได้ว่ากราฟของ $y=f(x)$ จะตัดแกน $X$ เพียงครั้งเดียวเท่านั้น อีกนัยหนึ่งก็คือ

"สมการ $f(x)=0$ จะมีเพียงคำตอบเดียว"

จากโจทย์ จะได้ว่า $f(8-x)=0$ และ $f(y)=0$ จากที่กล่าวไว้ข้างบนเลยได้ว่า $8-x=y \Rightarrow \boxed{x+y=8}$
ดังนั้น $\boxed{\log_2(x+y) = 3}$

[Hutchjang]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NaPrai

(ก่อนเข้าแนวคิด) สังเกตว่า ถ้าเราแทน $x$ ด้วย $8-x$ จะได้สมการที่คล้ายกับอีกสมการเลยนะ เหมือนบอกใบ้อะไรบางอย่าง 5555

แนวคิด ให้ $f(u)=7^u+5u-48$ สังเกตว่า $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มแท้ ฟังก์ชันต่อเนื่อง และเป็นฟังก์ชันทั่วถึง จากสมบัติที่กล่าวมาจึงได้ว่ากราฟของ $y=f(x)$ จะตัดแกน $X$ เพียงครั้งเดียวเท่านั้น อีกนัยหนึ่งก็คือ

"สมการ $f(x)=0$ จะมีเพียงคำตอบเดียว"

จากโจทย์ จะได้ว่า $f(8-x)=0$ และ $f(y)=0$ จากที่กล่าวไว้ข้างบนเลยได้ว่า $8-x=y \Rightarrow \boxed{x+y=8}$
ดังนั้น $\boxed{\log_2(x+y) = 3}$

ขอบคุณครับ