ขอโจทย์ สมการตรีโกณ หน่อยครับ

[No.Name]

ขอโจทย์เกี่ยวกับพวก สมการตรีโกณ หน่อยครับ ขอเริ่มตั้งแต่เบื้องต้นนะครับ เพราะไม่ค่อยเก่ง

[gon]

1. $\sin A + \cos A = 0$

2. $\sin A + \cos A = 1$

3. $\sin A - \cos A = 1$

4. $\sqrt{3}\sin A + \cos A = 0$

5. $\sqrt{3}\sin A + \cos A = 1$

[paobluespark]

โจทย์จะถามอะไรหรอครับ , A มีค่ากี่องศา์?

เวลาจะตอบให้มันซ่อนข้อความทำยังไงหรอครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

1. $\sin A + \cos A = 0$

$\sin A=\pm \sqrt{1-\cos^2 A}$

กรณีที่ 1 $\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}$

$1-\cos^2 A=\cos^2 A$

$\cos A=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$A= n\pi+\dfrac{\pi}{4} ,n=0,1,2...$

กรณีที่ 2 $\sin A=-\sqrt{1-\cos^2 A}$

$1-\cos^2 A=\cos^2 A$

$\cos A=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$A= n\pi+\dfrac{\pi}{4} ,n=0,1,2...$

ผมไม่ค่อยชัวร์อ่ะครับเหมือนคำตอบเกิน

[Amankris]

#3
ซ่อนข้อความใช้คำสั่ง hidden ครับ

#4
การยกกำลังสองทั้งสองข้างอาจจะทำให้มีคำตอบเกินมานะครับ

[-InnoXenT-]

5 ข้อ วิธีทำเดียวกันเลยครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#3
ซ่อนข้อความใช้คำสั่ง hidden ครับ

#4
การยกกำลังสองทั้งสองข้างอาจจะทำให้มีคำตอบเกินมานะครับ

แล้วควรแก้อย่างไรหรือครับ

[Amankris]

#7
ลองใช้เวลาในแก้ปัญหาเองดูก่อนนะครับ

Hint

ปกติปัญหาทำนองนี้ควรใช้เอกลักษณ์ผลบวกของฟังก์ชัน $\sin$ (หรือ $\cos$) น่าจะดีกว่า

เนื่องจากเป็นประโยคที่สมมูลกันครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#7
ลองใช้เวลาในแก้ปัญหาเองดูก่อนนะครับ

Hint

ปกติปัญหาทำนองนี้ควรใช้เอกลักษณ์ผลบวกของฟังก์ชัน $\sin$ (หรือ $\cos$) น่าจะดีกว่า

เนื่องจากเป็นประโยคที่สมมูลกันครับ

ขอบคุณครับ ที่ช่วยเตือนสติ

แบบนี้ได้หรือเปล่าครับช่วยตรวจดูให้ด้วย

$\sin A+\cos A=0$

$\cos A(1+\tan A)=0$

$\tan A=-1$

จะได้ $A= n\pi - \dfrac{\pi}{4},n\in \mathbb{Z} $

$\cos A=0$

จะได้ $A= \dfrac{(2n+1)\pi}{2},n\in \mathbb{Z} $ แต่เมื่อนำไปแทนค่าแล้ว สมการไม่เป็นจริง

$A= n\pi - \dfrac{\pi}{4}$

[gon]

ข้อ 1. คำตอบสุดท้ายถูกแล้วครับ.

วิธีการแก้สมการตรีโกณพื้นฐานวิธีหนึ่งง่าย ๆ คือการใช้นิยามครับ โดยอาศัยเรขาคณิตวิเคราะห์เบื้องต้น

จากนิยาม จะได้ว่าจุดปลายของ $\theta$ ซึ่งวัดจากจุด (1, 0) ไปบนส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย $x^2+y^2=1$

จะแทนด้วย (x, y) โดยที่ $x = \cos \theta$ และ $y = \sin \theta$

ดังนั้นอย่างในข้อ 1. จากโจทย์ $\sin A + \cos A = 0$ จะได้ว่า $y + x = 0$

ซึ่งจะได้จุดตัดของเส้นตรงกับวงกลมหนึ่งหน่วยตามรูป ซึ่งเป็นคำตอบของสมการนี้นั่นเอง

ถ้าจะใช้สูตร เช่น $\cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

ก็อาจจะแปลงโจทย์ใหม่เป็น $\cos (\frac{\pi}{2} - A) + \cos A = 0$ ก่อน

[No.Name]

ผมงงครับ ทำไมถึงเปลี่ยนเป็น $\dfrac{\pi}{2}-A$ ได้หรอครับ

โปรดชี้แนะด้วยครับ

[gon]

จากสูตร $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

ดังนั้น $\cos(\frac{\pi}{2} - A) = \cos \frac{\pi}{2} \cos A + \sin \frac{\pi}{2} \sin A = (0)(\cos A) + (\sin A)(1) = \sin A $

เรื่องพวกนี้จะไม่งง ถ้าไล่พิสูจน์สูตรทุกสูตรตั้งแต่แรกครับ.

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

2. $\sin A + \cos A = 1$

ขอบคุณมากครับเข้าใจละครับ

จากข้อเมื่อกี้แปลงได้เป็น

$\cos(\dfrac{\pi}{2}-A)+\cos A=1$

$2\cos\dfrac{\pi}{4}\cos(\dfrac{\pi}{4}-A)=1$

$\cos( A-{\pi}{4})=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\dfrac{\pi}{4}-A=2n\pi\pm\dfrac{\pi}{4}$

$A= 2n\pi \ \ ,n\in \mathbb{Z} $

$A=2n\pi+\dfrac{\pi}{2} \ \,n\in \mathbb{Z}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

3. $\sin A - \cos A = 1$

จากข้อ 2) ก็ได้

$\sin(\dfrac{\pi}{4}-A)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(A-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$A-\dfrac{\pi}{4}=(2n+1)\pi-\dfrac{\pi}{4}$ ได้ $A=(2n+1)\pi$

$A-\dfrac{\pi}{4}=2n\pi-\dfrac{\pi}{4}$ ได้ $A=2n\pi+\dfrac{\pi}{2}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

$\sqrt{3}\sin A + \cos A = 0$

$\dfrac{\cos 30}{\sin 30}\sin A+\cos A=0$

$\sin A\cos 30+\sin 30 \cos A=0$

$\sin(30+A)=0$

$A+30=n\pi$

$A=n\pi-\dfrac{\pi}{6}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

$\sqrt{3}\sin A + \cos A = 1$

$\sin(30+A)=\dfrac{1}{2}$

$A=(2n+1)\pi-\dfrac{\pi}{3},2n\pi$

[gon]

คำตอบมีเป็นอนันต์ครับ ถ้าวัดระยะตามเข็มก็เป็นลบ ถ้าวัดทวนเข็มก็เป็นบวก อันนี้ก็เริ่มจากนิยามเหมือนกัน เหมือนเรามีจำนวนจริง -3 ก็มี 2, 3 ได้ แล้วแต่กำหนดทิศหรือสัญลักษณ์

ถ้าไม่ชอบ n ก็แทน n ด้วย -n ก็ได้ครับ

ข้อ 2. ถูกแล้วครับ

เวลาผมแต่งโจทย์พื้นฐาน ผมใช้เรขาเล่นครับ เพราะมันจะตั้งง่ายกว่าคิดโดยใช้พีชคณิตล้วน ๆ

[No.Name]

ขอโจทย์อีกได้ไหมครับ อยากฝึกอีก