ช่วย ที ครับ โจทย์พีชคณิต

[จูกัดเหลียง]

#15 งงอ่ะครับ = ="

[BLACK-Dragon]

ตรงไหนอ่ะครับ

[~ArT_Ty~]

ตรงผลบวกตัวส่วนเป็นกำลังสองไม่ใช่เหรอครับ?

ผมทำอย่างนี้ไม่รู้ได้มั้ยนะครับ

$$L.H.S. \geqslant \frac{x^2}{(4^2+3^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)}+\frac{y^2}{(4^2+3^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)}+\frac{z^2}{(4^2+3^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)}=\frac{1}{26 }$$

[nooonuii]

เฉลยอยู่ในนี้

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=6263

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

5.) ให้$u^2+uv+v^2=0$ จงหาค่าของ $(\dfrac{u}{u+v})^{2011}+(\dfrac{v}{u+v})^{2011}$

ทำแบบนี้ได้ไหมครับ
$u^2+2uv+v^2=uv$
$(u+v)(u+v)=uv$
$\frac{u}{u+v}=\frac{u+v}{v} $
ให้$A=\frac{u}{u+v} \rightarrow \frac{v}{u+v} =\frac{1}{A} $
$A+\frac{1}{A}=1$
$A^2-A+1=0$
โจทย์ถาม$A^{2011}+\dfrac{1}{A^{2011}} $
ยังไม่ออก...เดี๋ยวขอเวลาคิดต่อ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ทำแบบนี้ได้ไหมครับ
$u^2+2uv+v^2=uv$
$(u+v)(u+v)=uv$
$\frac{u}{u+v}=\frac{u+v}{v} $
ให้$A=\frac{u}{u+v} \rightarrow \frac{v}{u+v} =\frac{1}{A} $
$A+\frac{1}{A}=1$
$A^2-A+1=0$
โจทย์ถาม$A^{2011}+\dfrac{1}{A^{2011}} $
ยังไม่ออก...เดี๋ยวขอเวลาคิดต่อ

มาถูกทางแล้วครับคุณกิตติ

ใบ้ให้่ว่า $P_{k+1}=P_{k}-P_{k-1},k \ge 2$ โดยที่ $P_k=a^k+b^k$

[tonklaZolo]

ขอความกรุณาจาก คุณ BLACK-Dragon ช่วยทำให้ถึงปลายถ้ำ ด้วยนะ จ๊ะ Thx.

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

5.) ให้ $u^2+uv+v^2=0$ จงหาค่าของ $(\dfrac{u}{u+v})^{2011}+(\dfrac{v}{u+v})^{2011}$

จากคุณ กิตติ นะครับ

$P_1= A+\dfrac{1}{A}=1$

$ A \cdot \dfrac{1}{A}=1$

$P_2= A^2+\dfrac{1}{A^2}=-1$

$P_3=P_2-P_1=-1-1=-2$

$P_4=P_3-P_2=-2+1=-1$

$P_5=P_4-P_3=-1+2=1$

$P_6=P_5-P_4=1+1=2$

$P_7=P_6-P_5=1$ ตรงนี้จะเริ่มวน
.
.
.
$P_{2011}=1$

$\therefore (\dfrac{u}{u+v})^{2011}+(\dfrac{v}{u+v})^{2011}=1$

[กิตติ]

ลองทำดู ผมสังเกตว่า
$(A^n+\frac{1}{A^n})(A+\frac{1}{A} )=A^n+\frac{1}{A^n}$.....เพราะ $A+\frac{1}{A}=1$
$A^{n+1}+\frac{1}{A^{n+1}}+A^{n-1}+\frac{1}{A^{n-1}}=A^n+\frac{1}{A^n} $
ถ้าให้ $P_k=A^k+\frac{1}{A^k} $ เมื่อ $k\geqslant 2$
$P_k=P_{k+1}+P_{k-1} \rightarrow P_{k+1}=P_k-P_{k-1}$........(1)
$P_{k+1}=P_{k+2}+P_k \rightarrow P_{k+2}=P_{k+1}-P_k$........(2)
$P_{k+2}+P_{k+1}=P_{k+1}-P_{k-1}$
$P_{k+2}=-P_{k-1}$
$P_{k-1}=P_{(k-3)+2}=-P_{k-4}$
$P_{k+2}=P_{k-4}$
$k=2009$
$P_{2011}=-P_{2008}=P_{2005}=...$
จะวนซ้ำทุก 6 พจน์
$2011=6(335)+1$...เทียบกับอนุกรมเลขคณิต$a_n=a_1+(n-1)d$...แสดงพจน์เริ่มต้นคือ $A+\frac{1}{A}=1$
ตอบ...1 เหมือนกัน

[paobluespark]

เซียนเติ้ล

คุณ BLACK-DRAGON เก่งจังครับ

ทำไมไม่สมัครTUGMOsเหรอครับ

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

จากคุณ กิตติ นะครับ

$P_1= A+\dfrac{1}{A}=1$

$ A \cdot \dfrac{1}{A}=1$

$P_2= A^2+\dfrac{1}{A^2}=-1$

$P_3=P_2-P_1=-1-1=-2$

$P_4=P_3-P_2=-2+1=-1$

$P_5=P_4-P_3=-1+2=1$

$P_6=P_5-P_4=1+1=2$

$P_7=P_6-P_5=1$ ตรงนี้จะเริ่มวน
.
.
.
$P_{2011}=1$

$\therefore (\dfrac{u}{u+v})^{2011}+(\dfrac{v}{u+v})^{2011}=1$

ขอบคุณ คุณ BLACK - DRAGON มากๆ ครับ

[sahaete]

เป็นข้อที่คล้ายกัน
\[\begin{array}{l}
We\;have\;\quad 1 - \frac{{{u^3}}}{{{v^3}}} = \left( {1 - \frac{u}{v}} \right)\left( {1 + \frac{u}{v} + \frac{{{u^3}}}{{{v^3}}}} \right) = 0\\
We\;cannot\;have\;u = v\;as\;otherwise\;both\;must\;be\;0\\
Hence\;u = wv\;where\;{w^3} = 1.The\;given\;\exp ression\;in\;become\\
{\left( {\frac{1}{{1 + w}}} \right)^{1990}} + {\left( {\frac{w}{{1 + w}}} \right)^{1990}} = \frac{{1 + {w^{1990}}}}{{{{\left( { - {w^2}} \right)}^{1990}}}} = \frac{{1 + w}}{{{w^2}}} = - 1
\end{array}\]

ขอคำอธิบายข้างล่างเพิ่มเติมครับ

[กิตติ]

อยากเห็นโจทย์ตัวเต็มครับคุณsaheta

[sahaete]

จากหนังสือ Chinese Mathematics Competitions and Olympiads 1981-1993


\[\begin{array}{l}
1990/91\\
5.\;What\;is\;the\;value\;of\\
{\left( {\frac{u}{{u + v}}} \right)^{1990}} + {\left( {\frac{v}{{u + v}}} \right)^{1990}}\\
where\;u\;and\;v\;are\;non - zero\;complex\;numbers\\
satisfying\;{u^2} + uv + {v^2} = 0
\end{array}\]



มีตัวเลือกนะครับตอบ -1

[Amankris]

#27
พูดถึงจำนวนเชิงซ้อนครับ