TUGMOs 54 ม.ต้น

[อัจฉริยะข้ามภพ]

copy คำถามยังไงคะ

[banker]

โดยปิธากอรัส

$(\sqrt{193} )^2 - x^2 = (\sqrt{194} )^2 - (\sqrt{689}-x )^2 $

$x^2 = \frac{118336}{689}$

โดยปิธากอรัส

$y^2 = (\sqrt{193} )^2 - x^2 $

$ y = \sqrt{\frac{14641}{689}} $

พื้นที่สามเหลี่ยม = $ \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{14641}{689}} \times \sqrt{689} = \frac{121}{2} = 60.5$

ตอบ ข้อ ง.

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อัจฉริยะข้ามภพ

copy คำถามยังไงคะ

ไปที่ภาพที่ต้องการ copy ---> คลิกขวา ---> คัดลอกที่ตั้งภาพ ---> มาตำแหน่งที่ต้องการวางภาพ

คลิก ---> ใส่ url ที่ก็อปมา ก็เรียบโร้ยย


แต่ถ้าเป็น IE คลิกขวาที่รูป ---> properties -- ก็อป Address (URL)

[อัจฉริยะข้ามภพ]

$sf(12)=1!\times2!\times...\times 12!=2^{56}\times 3^{26}\times 5^{11}\times 7^6\times 11^2$
x! ต้องมี 5 เป็นตัวประกอบ คี่ตัวและมี 2,3,7,11 เป็นตัวประกอบ คู่ตัว (เพื่อให้ที่เหลือเป็น$y^2$)
เมื่อพิจารณาพบว่ามีกรณีที่ x=6 เป็นจริง
ดังนั้นตอบ ข.

[กิตติ]

$a+b+c=0$
$ab+bc+ac=-3$
$abc=-1$
จะได้ว่า $a^3+b^3+c^3=-3$ และ $a^2+b^2+c^2=6$
$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=a^3+b^3+c^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2=0$
$a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2=3$
$abc\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)+abc \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)=3 $
$\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)+ \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)=-3 $...........(1)

$ab+bc+ac=abc\left(\,\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right)=-3 $
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}=3$
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c})^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc} +\frac{1}{ca})$
$9=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}+2(\frac{(a+b+c)}{abc})$
$9=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}$

$\left(\,a^2+b^2+c^2\right) \left(\,\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}\right) =54$
$\left(\,\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{c^2} +\frac{c^2}{a^2} \right)+ \left(\,\frac{a^2}{c^2} +\frac{b^2}{a^2} +\frac{c^2}{b^2} \right)=51 $

ยกกำลังสองสมการ(1)
$\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)^2+ \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)^2+2\left(\,\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right) \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)\right) =9$
$\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)^2=\left(\,\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{c^2} +\frac{c^2}{a^2} \right)+ 2\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)$
$\left(\,\frac{a^2}{c^2} +\frac{b^2}{a^2} +\frac{c^2}{b^2} \right)=\left(\,\frac{a^2}{c^2} +\frac{b^2}{a^2} +\frac{c^2}{b^2} \right)+2\left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)$

$\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)^2+ \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)^2=51-6=45$

$45+2\left(\,\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right) \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)\right) =9$

ให้$\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}=S$
$\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b}=-(3+S)$

$45-2S(S+3)=9$
$S^2+3S-18=0$
$(S+6)(S-3)=0$
$S=-6,3$

$\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}$ มีสองค่าคือ $3,-6$

แก้ไขคำตอบ

คำตอบเหลือแค่ $-6$ เพราะจาก $abc=-1$ และ $\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)+ \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)=-3$ ทำให้ได้ว่า $a<b<c$ จะเป็นค่าบวก 2 ค่าและ ลบ 1 ค่า ถ้าเป็นค่าลบทั้ง 3 ค่าจะทำให้ $\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)+ \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)>0$

ดังนั้นจะได้ว่า$a<0$ และ $c>b>0$
ให้ $\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}=M$
$(\frac{a}{b}-1)+(\frac{b}{c}-1)+(\frac{c}{a}-1)=M-3$
$(\frac{a-b}{b})+(\frac{b-c}{c})+(\frac{c-a}{a})=M-3$

$\frac{a-b}{b}<0,\frac{b-c}{c}<0,\frac{c-a}{a}<0$
ดังนั้น $M-3<0 \rightarrow M<3$
เหลือค่าที่ใช้ได้คือ $-6$

[paobluespark]

แค่ตรงปรนัย 5 ข้อที่เฉลยมา ผมถูก 5 ข้อ ข้อละ 2011 คะแนน

แต่คะแนนออกมา ได้ 9000+ คะแนนนี่มันยังไงกัน

[BLACK-Dragon]

$(m,n,p)=(5,3,2)$

ปล.พิมพ์ไม่ค่อยได้ ไม่ค่อยมีเวลาถ้าถึงบ้านแล้วจะมีวิธีทำครับ (อยู่ในร้านเกมส์)

ต่อได้อีกนิด

$1/m+1/n+1/p-1/mnp=1$ แล้วแก้สมการหาค่า m,n,p

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}$ มีสองค่าคือ $3,-6$

ยังไม่ได้ดูรายละเอียดเหลือบดูคำตอบก่อน เห็นว่าไม่น่าจะมี 2 คำตอบ เพราะรากมี 3 ค่าแน่นอน ก็น่าจะมีเพียงคำตอบเดียวครับ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$(m,n,p)=(5,3,2)$

ปล.พิมพ์ไม่ค่อยได้ ไม่ค่อยมีเวลาถ้าถึงบ้านแล้วจะมีวิธีทำครับ (อยู่ในร้านเกมส์)

ต่อได้อีกนิด

$1/m+1/n+1/p-1/mnp=1$ แล้วแก้สมการหาค่า m,n,p

ถ้าจำไม่ผิด โจทย์นี้ดัดแปลงมาจากหนังสือพีชคณิตคิดเพื่อชาติ

[Juniors]

ข้อที่ไม่มีคนทำได้ มีดังนี้ ....
ตอน 3 : 7, 9, 10, 11, 12, 13
ตอน 4 : 1, 2, 4

ข้อที่ยากถึงยากมาก+ไม่ยากแต่คิดเลขเยอะ (หมายความว่าข้ออื่น น้องๆ ในระดับแข่งขันถึงระดับกลางสามารถทำได้) :
ตอน 3 : 7, 10
ตอน 4 : 1, 2

ส่วนข้อ 8 ตอน 3 เป็นข้อที่น่าสนใจมาก มีผู้ตอบถูกเพียงคนเดียวเท่านั้น ข้อนี้สามารถหาได้จากการวัดมุมได้ แต่จากการตรวจข้อสอบพบว่าการวัดมุมของเด็กหลายคนนั้นไม่เที่ยงตรง เลยทำให้คำตอบของข้อนี้เฉียดๆ คำตอบจริงไปเป็นจำนวนมาก ใครมีวิธีสวยๆ เด็ดๆ รบกวนโพสต์ลงในนี้ด้วยนะครับ

[กิตติ]

ผมก็นั่งคิดเหมือนซือแป๋ว่า...น่าจะมีคำตอบเดียว กำลังนั่งคิดย้อนที่นั่งทำไปว่าตรงไหนผิด หรือมีเงื่อนไขให้ตัดเหลือคำตอบเีพียงข้อเดียว

[อัจฉริยะข้ามภพ]

ข้อนี้ไม่แน่ใจเท่าไรแต่คิดว่าน่าใช่
จำนวนนับที่สามารถใส่ได้คือ16!=$2^{15}*3^6*5^3*7^2*11*13$ แต่ขัดกับเงื่อนไขเพราะเลขชี้กำลังแต่ละฐานหารด้วย4ไม่ลงตัว เปลี่ยนจำนวนนับจาก7,11,13,14 เป็น18,20,24,27 จะได้ $2^{20}*3^{12}*5^4$ ดังนั้นผลคูณแต่ละแถวและหลักคือ $2^5*3^3*5$ =4320

[Juniors]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อัจฉริยะข้ามภพ

ข้อนี้ไม่แน่ใจเท่าไรแต่คิดว่าน่าใช่
จำนวนนับที่สามารถใส่ได้คือ16!=$2^{15}*3^6*5^3*7^2*11*13$ แต่ขัดกับเงื่อนไขเพราะเลขชี้กำลังแต่ละฐานหารด้วย4ไม่ลงตัว เปลี่ยนจำนวนนับจาก7,11,13,14 เป็น18,20,24,27 จะได้ $2^{20}*3^{12}*5^4$ ดังนั้นผลคูณแต่ละแถวและหลักคือ $2^5*3^3*5$ =4320

ตอนน้องสอบตอบคำตอบนี้ไปหรือเปล่าครับ ข้อนี้จำได้ว่ามีคนทำถูกคนเดียวหรือสองคนเอง

[อัจฉริยะข้ามภพ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Juniors

ตอนน้องสอบตอบคำตอบนี้ไปหรือเปล่าครับ ข้อนี้จำได้ว่ามีคนทำถูกคนเดียวหรือสองคนเอง

ไม่ได้สอบค่ะ อยู่ม.4แล้ว

[banker]

ลาก $XP \ $ตั้งฉาก $OY \ $ที่จุด $P \ $

โดยปิธากอรัส จะได้ $XP = PO = \frac{\sqrt{2}}{2}$

สามเหลี่ยม $XYP \ $โดยปิธากอรัส $ \ XY = \sqrt{2-\sqrt{2}}$

โดยสามเหลี่ยมคล้าย $\frac{AB}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2} }{2}}{1}$

$AB = \sqrt{2-\sqrt{2}} \left( \frac{\frac{\sqrt{2} }{2}}{1}\right)$

$AB^2 = \frac{1}{2}(2-\sqrt{2}) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

ไม่มีใน choice ผิดตรงไหน ?

เห็นที่ผิดแล้วตรง OB, OP เดี๋ยวมาแก้ไข