Missing number?

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ฝากถามคุณ nongtum หน่อยครับ ว่า ข้อ 29 เกี่ยวกับนาฬิกา ใช่มั้ยครับ และ อยากได้ hint ข้อ 47,48 อ่ะครับ

ข้อ 29 ใช่แล้วครับ (คิดข้อนี้ได้ตอนฟังเพลงชาติเวอร์ชันสถานีวิทยุกระจายเสียงแห่งประเทศไทย)
ข้อ 47 ความหมายของตัวอักษรยังเหมือนกับข้ออื่นๆที่ผมออกครับ แล้วลองสร้างจำนวนจากแต่ละคู่อันดับโดยให้เลขตัวแรกอยู่ด้านหน้าเสมอ
ข้อ 48 สลับ..แล้วลบ, สลับ..แล้วลบ, สลับ..แล้วลบ ...
สามข้อนี้ จะมีคำถามภาคต่อตอนเฉลยครับ
แถมอีกข้อ ที่คิดว่าไม่ใบ้เพิ่มไม่ได้...
ข้อ 24 กระบวนการที่ใช้ตามลำดับคือ จับกลุ่ม คูณ ถอดราก แล้ว... (ใบ้มากไปแล้วมั้ง...)

ครั้งที่แล้วลืมบอกไปครับ ว่าคุณ passer-by ตอบข้อ 41,43,45 ถูกแล้วครับ
ที่จริงตอนคิดโจทย์ข้อ 45 คิดให้รูปทั่วไปของโจทย์เป็น (2n,n,(2n,n+1)) นะนี่ แต่เลขออกมาง่ายๆแบบนั้น ก็โชคดีไปครับ

ขอเฉลยทิ้งท้ายอีกข้อครับ (ยังไม่เพิ่มโจทย์ครับ ขอหาไอเดียอีกแป๊บ )
51. \(1, 2=1+(2^1-1), 5=2+(2^2-1), 12=5+(2^3-1), 27=12+(2^4-1), 58=27+(2^5-1), 121=58+(2^6-1),...\)

[passer-by]

ข้อ 51 คือ ลำดับ a_n = 2ⁿ-n ครับผม

ตอนนี้ ยุ่งๆ อ่ะครับ เดี๋ยวจะกลับมาลุยตอบ บางส่วนให้ทีหลังนะครับ

[nooonuii]

อ่าข้อ 49 ของผมยังไม่ตรงกับเจตนาของผมเลยครับ เผอิญมันเป็นปัญหาเชาว์นิดๆน่ะครับอิอิ ใบ้ให้ว่าใกล้เที่ยงครับ

[warut]

อ๋อครับ...ถ้างั้นข้อ 49. คงเป็น 1, 1, 5, 8, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 0, 0, 1, 2, 0, 1, ...

[passer-by]

ข้อ 24 น่าจะตอบ 6250 เพราะแต่ละเทอม คือ การ take floor function ให้กับ
ึ1 ,ึ2ท3 ,ึ4ท5ท6, ึ7ท8ท9ท10,...

ข้อ 17 ผมคิดได้ 13 โดยแทนค่า (x,y) = (1,1) (2,1) (1,2) (1,3) ,(2,2) ,(3,1),(4,1),... (คล้ายๆ ข้อ 18)
ใน f(x,y)= 3x+2y

ข้อ 29 น่าจะตอบ 816 แนวคิดคือ ผมยึด 8.00 เป็นหลัก แล้วก็ดูว่า แต่ละเทอม เมื่อเขียนให้อยู่ใน format ของการบอกเวลา จะต่างจาก 8 โมง กี่นาที พบว่า ได้ +0, -1,+2,-4,+8,-16,... (" +" คือ อีกกี่นาทีจึงจะ 8 โมง ส่วน" -" คือเกิน 8โมงไปกี่นาที)
แต่ผมว่า ข้อนี้น่า จะเริ่มที่ 801 มากกว่านะครับ จะได้มีแค่ 1,2,4,8,16,...

ยังไง ฝากคุณ nongtum ตรวจคำตอบอีกทีแล้วกันครับ

ปิดท้าย ด้วย การเติมคำถามอีก 2 ข้อ
54. 31/1/01 , 2/3/02 , 1/4/03 , 30/4/04 ,_______
55. (1,0) ,(2,0) ,(2,2) ,(5,2) ,(5,6) ,________
( Hint : ข้อ 54 คิดออก ตอนดูช่อง 7 ตอนดึกๆ)

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ข้อ 24 น่าจะตอบ 6250 เพราะแต่ละเทอม คือ การ take floor function ให้กับ
\(\sqrt{1} ,\sqrt{2\cdot3},\sqrt{4\cdot5\cdot6}, \sqrt{7\cdot8\cdot9\cdot10},...\)

ถูกแล้วครับ หยิบมา quote เพื่อแก้ syntax นิดหน่อย ตอนแรกยังกลัวๆเลยว่าใบ้อย่างที่ใบ้ตอนแรกสุด จะมีคนมาได้ถึงตรงนี้กี่คน เป็นเรื่องที่แปลกอย่างหนึ่งที่กระบวนการอันสุดแสนจะมั่วนี้ให้ลำดับที่เลขที่สวยใช้ได้ ^^

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ข้อ 17 ผมคิดได้ 13 โดยแทนค่า (x,y) = (1,1) (2,1) (1,2) (1,3) ,(2,2) ,(3,1),(4,1),... (คล้ายๆ ข้อ 18) ใน f(x,y)= 3x+2y

ข้อนี้คงไม่ต้องเสริมอะไรอีกแล้วครับ (ถูกแล้วครับ)

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ข้อ 29 น่าจะตอบ 816 แนวคิดคือ ผมยึด 8.00 เป็นหลัก แล้วก็ดูว่า แต่ละเทอม เมื่อเขียนให้อยู่ใน format ของการบอกเวลา จะต่างจาก 8 โมง กี่นาที พบว่า ได้ +0, -1,+2,-4,+8,-16,... (" +" คือ อีกกี่นาทีจึงจะ 8 โมง ส่วน" -" คือเกิน 8โมงไปกี่นาที)
แต่ผมว่า ข้อนี้น่า จะเริ่มที่ 801 มากกว่านะครับ จะได้มีแค่ 1,2,4,8,16,...

ถูกครับ ข้อนี้ที่จริงจะละ 800 เพื่อความชัดเจนก็ได้ครับ ตอนแรกทิ้ง 800 ไว้เป็นตัวอ้างอิง แต่ทั้งนี้ผมขอแก้ในโจทย์เดิมโดยใส่วงเล็บครอบ 800 ละกัน (พบกันครึ่งทาง)
ส่วนคำถามตามหลังโจทย์ ขอแยกไปตั้งเป็นอีกกระทู้ครับ เพราะมันจะไม่เข้ากับ theme ของกระทู้นี้ครับ

เฉลยอีกสองข้อครับ (คำถามที่เหลือแต่ละข้อ ไม่มีข้อไหน trivial สักข้อ )
36. เริ่มจาก O นับไปขวาอีก 17=4²+1 ตัว เป็นตัว F
เริ่มจาก F นับไปขวาอีก 8=3²-1 ตัว เป็นตัว N
เริ่มจาก N นับไปขวาอีก 5=2²+1 ตัว เป็นตัว S
เริ่มจาก S นับไปขวาอีก 1=(!?)1²-1 ตัว เป็นตัว T (ตรงนี้ ไม่ผมก็คนออกโจทย์คงเบลอแหละครับ )
เริ่มจาก T นับไปขวาอีก 0=(!?)0²+1 ตัว เป็นตัว T (???)
ยังไงรบกวนคุณ passer-by มาชี้แจงด้วยครับ

52. ข้อนี้ เทียบกับ binary expression ดังนี้ครับ
\({\begin{array}{rcll}
8&=&2^3+0+0+0&1000\\
28&=&3^3+0+0+3^0&1001\\
68&=&4^3+0+4^1+0&1010\\
131&=&5^3+0+5^1+5^0&1011\\
252&=&6^3+6^2+0+0&1100\\
393&=&7^3+7^2+0+7^0&1101\\
\\&\vdots&&\\
\end{array}}\)

ขอปิดท้ายกรอบนี้ด้วยคำถามที่ยังไม่มีใครตอบ แยกตามคนตั้งคำถามนะครับ
nongtum(ผมเอง): 13,16,21,22,25,27,28,40,42,44,46,47,48
passer-by: 33,36(เผื่อมีคนมาแก้),54,55
ส่วนข้อ 50 ของน้อง tummykung รบกวนคุณ passer-by มาเขียนเฉลยละเอียดด้วยครับ
ไปดูได้ที่หน้าสองครับ

Edit1,2: แก้ลิสต์คำถามยังไม่มีคนตอบครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
12. 1, 7, 22, 57, 134, 277,...

1, 7, 22, 57, 134, 277, 498, 821, 1258, 1925, ...
a₀ = 1, a_n = a_n-1 + p_np_n+1
โดยที่ p_n คือจำนวนเฉพาะตัวที่ n

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
1, 7, 22, 57, 134, 277, 498, 821, 1258, 1925, ...
a₀ = 1, a_n = a_n-1 + p_np_n+1
โดยที่ p_n คือจำนวนเฉพาะตัวที่ n

ถูกแล้วครับ

เฉลยอีกสองข้อครับ
55. ลำดับนี้ เขียนใหม่ได้ดังนี้ (ข้อนี้มีภาคต่อ ไปดูได้ที่นี่ครับ)
(1,0), (2,0)=(1+1,0), (2,2)=(2,0+2), (5,2)=(2+3,2), (5,6)=(5,2+4), (10,6)=(5+5,6), (10,12)=(10,6+6),...

54. ข้อนี้เปิดปฏิทินนับวันกันเลยนะครับ สรุปง่ายๆ คือ
จากปีแรก(31/1/01) นับไปอีกปีกับอีกสามสิบวันเป็นลำดับตัวที่สอง (2/3/02)
จากปีที่สองนับจากวันที่ 31/1/02 ไปอีก 30ด2=60 วันเป็นลำดับตัวที่สาม (1/4/03)
จากปีที่สามนับจากวันที่ 31/1/03 ไปอีก 30ด3=90 วันเป็นลำดับตัวที่สี่ (30/4/04)
จากปีที่สี่นับจากวันที่ 31/1/04 ไปอีก 30ด4=120 วันเป็นลำดับตัวที่ห้า (1/6/05)
เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ...

Edit1: เพิ่มข้อ ๕๔
Edit2: แก้ข้อ ๕๕

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
22. (1,2), (1,3), (2,2), (1,5), (1,6), (1,7), (3,2),...

คิดว่าลำดับนี้น่าจะสร้างขึ้นดังนี้

2 = 2¹ ฎ (1, 2)
3 = 3¹ ฎ (1, 3)
4 = 2² ฎ (2, 2)
5 = 5¹ ฎ (1, 5)
6 = 6¹ ฎ (1, 6)
7 = 7¹ ฎ (1, 7)
8 = 2³ ฎ (3, 2)

ดังนั้นพจน์ต่อไปจึงควรจะเป็น (2, 3), (1, 10), (1, 11), (1, 12), ... มั้งครับ

[passer-by]

มาสังคายนา ทีละเรื่องเลยนะครับ

อันดับแรก คำตอบของคุณ nongtum :
ข้อ 36 ที่มันดูยาก เพราะ มันแฝงความรู้ภาษาอังกฤษนิดหน่อยครับ ตัวอักษรแต่ละตัว คือ first letter ของ 1² (one), 2² (four), 3² (nine), 4² (sixteen) ,...
ไม่รู้ว่า เฉลยข้อนี้เสร็จ จะโดนประชาทัณฑ์ไหมเนี่ย

ข้อ 52 ถูกแล้วครับ
แต่ละลำดับคือ 1000₂ , 1001₃ ,1010₄,...

ข้อ 54 เกือบถูกแล้วครับ เจตนาของผมในการตั้งโจทย์ข้อนี้ คือ
วันที่ 30ท1+1 ของปี 2001 (31/1/2001)
วันที่ 30ท2+1 ของปี 2002 (2/3/2002)
วันที่ 30ท3+1 ของปี 2003 (1/4/2003)
วันที่ 30ท4+1 ของปี 2004 (30/4/2004) (ปีนี้ เดือน ก.พ. มี 29 วัน)
วันที่ 30ท5+1 ของปี 2005 (31/5/2005)

ซึ่งวันที่ 31/5/2005 จะมีการประกวด Miss universe รอบสุดท้าย ที่ไทยเป็นเจ้าภาพ พอดี ผมได้ไอเดียตั้งโจทย์ข้อนี้ ตอนที่ดูช่อง 7 ถ่ายทอดสด รอบ presentation show เมื่อคืนครับ
อ้อ ! รู้สึกว่าจะเป็นวัน งดสูบบุหรี่โลกด้วยนะเนี่ย

ข้อ 55 เริ่มต้นที่ (1,0) ต่อไป คือการเดินทางไปทางทิศตะวันออก และทิศเหนือ สลับกันไปเรื่อยๆ ทีละ 1,2,3,4,...บนแกนพิกัดฉาก ตัวต่อไปคือ (10,6) ,(10,12),...

ส่วนเรื่อง ข้อ 50 ของน้อง tummy ที่ผมไม่ได้เฉลยละเอียด เพราะ จำได้ว่า น้อง tummy กับ คุณ warut เคย discuss เรื่อง derangement ไว้ที่ กระทู้ ลำดับ? แล้วครับ

แล้วก็ต้อง ขอบคุณ คุณ nongtum ที่ list ข้อที่ยังไม่ได้เฉลยทั้งหมดให้ เพราะตอนผม มานั่งทำ ก็ควานหา ข้อกันวุ่นทีเดียว

สรุปว่า ตอนนี้ คำถามในส่วนของผม เหลือข้อ 33 ข้อเดียวแล้ว เป็น เรื่องเกี่ยวกับ ตัวประกอบเฉพาะ (prime factor) ของเลข 3 หลัก ครับ

[nongtum]

ข้อ 22 ถูกแล้วครับ ข้อนี้คือ (b,a) เมื่อ n=a^b, else (1,n)

ยังคิดข้อสามสิบสามไม่ออกครับ แต่คิดโจทย์ได้เพิ่มอีกห้าข้อครับ
56. (2,0), (3,1), (5,0), (7,6), (11,10), (13,12),...
57. 3, 3, 5, 11, 11, 13, 17,...
58. 3/2, 5/3, 8/5, 13/8,...
59. 3/2, 10/7, 43/30, 225/157,...
60. 45, 63.43, 71.57, 75.96, 78.69,... (หลังจุดทศนิยมเป็นค่าประมาณ)

Hint

56. Division with rest
57. ดูที่นี่
60. Circle revisited

List Update: 02.06.2005, 14:10(Thai time)
nongtum: 13,16,25,27,40,42,44,46,48,56,57,69,72,80,84-94
passer-by: 77, 82
warut: -
R-Tummykung de Lamar: 64,65
Edit: This list will be periodically updated

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
33. 41, 13, 23, 19,____

41 คือตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ 123
13 คือตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ 234
23 คือตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ 345
19 คือตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ 456
ดังนั้นพจน์ต่อๆไปจึงควรจะเป็น 7, 113, 263 ครับ

[passer-by]

คำตอบคุณ warut ถูกเป๊ะๆ อีกแล้วครับ

ตอนนี้ฝากข้อ 61 ไว้ให้อีก 1 ข้อแล้วกัน
61. 2 , 2/3 , 4/3 ,4/5 ,___ ,6/7 ____ , 8/9, 10/9,...
EXTRA CREDIT : สำหรับใครที่รู้ว่า ผลคูณของทุกสมาชิก ในลำดับนี้ เป็นเท่าใด

ส่วน ข้อ 28 ผมตอบไปแล้วครับ คุณ nongtum

[warut]

ข้อ 61. นี่น่าจะเป็น\[a_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\displaystyle{(-1)^n}},\quad n=1,2,3,\dots\]ซึ่งจะทำให้ได้ลำดับคือ\[2,\frac{2}{3},
\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{6}{5},\frac{6}{7},\frac{8}{7},\frac{8}{9},\frac{10}{9},
\frac{10}{11},\dots\]ดังนั้น\[\prod_{n=1}^\infty a_n=
\frac{\pi}{2}\]เพราะมันคือ Wallis' product นั่นเองครับ

ขอตั้งโจทย์บ้างนะครับ \[62.\quad-1,0,\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt2},
\frac{1+\sqrt5}{4},\dots\]\[63.\quad\frac{1}{6},\frac{1}{90},
\frac{1}{945},\frac{1}{9450},\frac{1}{93555},\dots\]ขอโทษล่วงหน้าครับถ้าเกิดไปซ้ำกับของเก่าเข้าเพราะผมเพิ่งมาเล่นเลยไม่รู้ว่าเล่นอะไรกันไปแล้วบ้าง อ้อ...ใบ้ให้ว่าโจทย์ของผมมาจากคณิตศาสตร์ล้วนๆครับ

[passer-by]

คุณ warut มือโปร จริงๆ ครับ ตอบถูกทั้งคำถามใหญ่ และคำถามย่อยเลย ถ้าไม่รบกวนเวลาจนเกินไป ก็ช่วยตอบคำถามในส่วนของคุณ nongtum ด้วยนะครับ เหลืออีกหลายข้อเลยอ่ะ

ส่วนข้อ 60 ของคุณ nongtum นี่ก็มันดีจริงๆครับ สุดท้ายก็พบว่า a_n= tan^-1(n) ดังนั้น ตัวต่อไปก็คือ tan^-1(6) หรือประมาณ 80.54

ข้อ 58 ตอบ 21/13 ครับ เพราะ ถ้าเทอมก่อนเป็น a/b เทอมถัดไป จะเป็น (a+b)/a
ข้อ 59 น่าจะตอบ 1393/972 ถ้าบวกเลขไม่ผิด
จาก 2 เทอมแรกคือ 3/2 และ 10/7 เทอมต่อๆไปคือ

\[ \large \frac{43}{30}=\frac{(10\times4)+3}{(7\times4)+2} \] \[ \large \frac{225}{157}=\frac{(43\times5)+10}{(30\times5)+7} \] \[ \large \frac{1393}{972}=\frac{(225\times6)+43}{(157\times6)+30} \]