Missing number?

[nongtum]

Yay... มาเล่นกันอีกหลายๆคนนะครับ สนุกดี ช่วยคิดคำถามกันมาบ้างนะครับ จะได้เล่นกันไปนานๆ หากว่างๆก็ไปตอบคำถามภาคต่อได้นะครับ เอาละ ตอบคำถามดีกว่า

62. ลำดับนี้คือ \(a_n=cos(\frac{\pi}{n})\) นั่นคือ พจน์ต่อไปได้แก่ \( cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos(\frac{\pi}{7}),\ldots\)

และเพิ่มเติมคำอธิบายคำตอบข้อ 58-60 ที่คุณ passer-by ตอบถูกมาดังนี้ครับ
58. สังเกตดีจะเห็นว่า นี่คือ \(F_{n+1}/F_n\) โดยที่ F_n แทนจำนวนใน Fibonacci sequence
รายละเอียดเพิ่มเติม ดูได้ที่นี่
59. และแล้วคุณก็พบวิธีการคิด
\[
1 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{\displaystyle{{3 + \frac{1}{{4 + \frac{1}{ \ddots }}}}}}}}
\]
แบบง่ายๆจนได้ครับ ซึ่งมีความเกี่ยวเนื่องกับ Euclid's Algorithm
Reference: (simple) continued fraction (interesting site ^^)
60. Trivial...

PS: List Updated.
Edit1: links added.

[R-Tummykung de Lamar]

ขอตั้งโจทย์ด้วยครับ
ข้อที่ 64
2 , 7 , 8 , 7 , 4 , 5 , 8 , 5 , 0 , 7 ...
[hint : กำลังสาม ]

ข้อที่ 65
5 , 2 , 5 , 1 , 2 , 3 , 6 , 6 , 2 , 8 ,...
[hint : มีจำนวนอตรรกยะตั้ง 2 ตัว ]

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
62. ลำดับนี้คือ \(a_n=cos(\frac{\pi}{n})\) นั่นคือ พจน์ต่อไปได้แก่ \( cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos(\frac{\pi}{7}),\ldots\)

ถูกต้องนะคร้าบ

โจทย์ที่เหลือของคุณ nongtum ผมก็พยายามทำอยู่ครับ แต่มันยากเหลือเกิน เลยยังทำไม่ได้ครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
63.\[\quad\frac{1}{6},\frac{1}{90},
\frac{1}{945},\frac{1}{9450},\frac{1}{93555},\dots\]

ข้อนี้เป็นลำดับที่ได้มาจาก Riemann-Zeta-Function \[a_n=\frac{\zeta(2n)}{\pi^{2n}}\]
เมื่อ n เป็นจำนวนนับ
สำหรับนิยามและคำอธิบาย ตามไปดูได้ที่นี่และที่นี่ได้ครับ อ้อ ควรมีพื้นความรู้ analysis และ function theory สักเล็กน้อยครับ
(ไม่ขอตอบแบบ explicit นะครับ เพราะคำนวณกันลำบากครับ)

ปล. ชักไม่แน่ใจละครับ ว่าจะมีเด็กประถมจริงๆเข้ามาห้องนี้สักกี่คน ดูแต่ละข้อ...

[warut]

คุณ nongtum ตอบถูกอย่างรวดเร็วอีกตามเคยครับ

ถ้าจะเลี่ยงไม่พูดถึง zeta function ก็คงต้องบอกว่า\[a_n=
\frac{1}{\pi^{2n}}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{2n}}\]ซึ่งการหาค่าของ\[\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{2n}}\]ก็เคยมีการพูดถึงไว้หลายทีแล้วครับ แต่จำไม่ได้เหมือนกันว่าอยู่ที่ไหนบ้าง

ยังมีใครสนใจจะหาค่าของพจน์ต่อไปออกมาจริงๆบ้างมั้ยเอ่ย

แหะๆ...โทษทีครับ ลืมไปว่าห้องนี้สำหรับเด็กประถม สำหรับตัวผมเองแล้วแยกห้องกับไม่แยกห้องต่างกันอยู่เรื่องเดียว คือถ้าแยกห้องก็ต้องเข้าไปดูทีละห้อง ถ้าไม่แยกก็เข้าห้องเดียว (สบายดี )

[passer-by]

สรุปว่า กระทู้นี้ มีทั้ง ความรู้ตั้งแต่ ประถม มัธยม และอุดมศึกษา ครบวงจร เลยนะครับเนี่ย
แล้วก็อย่าลืมไปตอบคำถามภาคต่อ ของผมและคุณ nongtum ด้วยนะคร้าบ

ต่อด้วย คำถามเซตใหม่ ครับ

66. 5/6 , 8/15 , 12/35 ,18/77 ,_____
67. (3,1) ,(6,1) ,(7,6) ,(9,1) ,(11,2) ,(12,1) ,______
68. 1/10 , 1/18 ,1/28 ,1/40,_____
(Extra credit: สำหรับผู้ที่หาผลบวก infinite terms ได้)

รับรองว่า 3 ข้อนี้ รวมทั้ง คำถาม extra credit ไม่ยากจนเกินไปครับ

P.S. อยากให้ถึง 100 ข้อ แต่ไม่รู้จะเป็นไปได้รึป่าว

[nongtum]

เริ่มต้นด้วยการตอบคำถามอีกสองข้อครับ

66. รูปทั่วไปของลำดับนี้คือ \[a_n=\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_{n+1}}\] เมื่อ p_n แทนด้วยจำนวนเฉพาะตัวที่ n เมื่อ n เป็นจำนวนนับ
ดังนั้น จะได้ว่าเทอมต่อไป คือ 24/143, 28/195,... )

68. รูปทั่วไปของลำดับนี้คือ \[b_n=\frac{1}{(n+1)(n+4)}\] เมื่อ n เป็นจำนวนนับ (นั่นคือ เทอมต่อไปได้แก่ 1/54, 1/70, 1/88,...
เขียนแต่ละเทอมใหม่จะได้ว่า \[b_n=\frac{1}{3}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+4})\]
จับแต่ละเทอมมาบวกกัน จะเหลือผลบวกที่ต้องการคือ \[\frac{1}{3}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=\frac{13}{36}\]

แถมด้วยคำถามอีกสี่ข้อ ที่ได้ไอเดียจากหนังสือ You're a mathematician ของ David Wells (เปิดผ่านๆครับ ยังไม่ได้อ่าน)
69. 5, 19, 101, 619, 4421,...
70. 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99,...
71. 1, 2, 4, 8, 15, 28, 52,...
72. 1/2, 7/12, 533/840, 95549/144144

hint

69. เริ่มจาก 1,2,3
70. วาดวงกลม และจุดบนเส้นรอบวง แล้วค่อยๆเพิ่มจำนวนจุดบนเส้นรอบวง
71. เริ่มจาก 1,2,4
72. พบได้ในการพิสูจน์ว่า ผลรวมของ...

ป.ล. หากช่วยกันทำ ช่วยกันปั่นโจทย์ทั้งโจทย์จริงและโจทย์ภาคต่อ อาจเกินร้อยได้ครับ ไม่แน่ เราอาจนับหัวข้อนี้เป็นผลงานของ Problem solving team อีกอัน ทำเป็นเอกสารออกแจกจำหน่ายก็ได้นะครับ
Edit1: แก้โจทย์ข้อ 71 ตามคำท้วงของน้อง tummykung

[passer-by]

ข้อ 66 และ 68 เรียบร้อยโรงเรียน คุณ nongtum ไปแล้ว
ส่วนข้อ 67 ใบ้ให้นิดว่า เกี่ยวกับ ทศนิยม ครับ

ส่วนกลับมาคราวนี้ มาพร้อมคำตอบอีก 2 ข้อ ไม่รู้ว่าจะคิดเหมือนใจ คนตั้งโจทย์ หรือเปล่า

21. 126 โดยแต่ละลำดับคือ
2³-2 , 2⁴-1 , 2⁵+2 ,2⁶+1,2⁷-2 , 2⁸-1 , 2⁹+2 ,2¹⁰+1,...

47. ผมว่า เทอมที่ 2 น่าจะเป็น (2,{E,Y}) นะครับ ยังไงคุณ nongtum ลองเช็คอีกทีแล้วกัน ส่วนถ้าเปลี่ยนโจทย์ เป็นอย่างนี้แล้ว เทอมต่อไป จะเป็น (6,{D,Y})
เหตุผลก็คือ เมื่อเปลี่ยนตัวอักษรภาษาอังกฤษ เป็น ตัวเลข อย่างข้อที่ผ่านๆมา พบว่า เมื่อนำคู่อันดับตัวหน้า concat กับสมาชิกในเซต จะได้ square of number เช่น (1,{6,21}) จะได้ 16 =4² , 121=11² และด้วยข้อจำกัดของจำนวนตัวอักษรภาษาอังกฤษ ทำให้ ไม่มี กรณี (1,{6,21,44}) เกิดขึ้น จึงเห็นสมาชิกในเซตมีแค่ 2 ตัว สำหรับกรณีของ เลข 1 ส่วนเทอมอื่นๆ ก็พิจารณา คล้ายๆกันครับ

ส่วนข้อ 25 อยากรู้ว่า เลขที่คุณ nongtum ให้มา บอก จำนวนนาที หรือเปล่าครับ ถ้าไม่ใช่ hint เพิ่มอีกนิดก็ดีครับ

แถมอีก 2 ข้อ ครับ
73. 4 ,9, 20, 43, 90, 187,____
74. 37, 47, 44, 52, 49, 62, 58,______

( 2 ข้อนี้ สไตล์คล้ายกัน ตรงที่ the previous one determines the next one.)

[nongtum]

มาเคลียร์ก่อนนอนครับ
47. ถูกแล้วครับ ออกโจทย์ก่อนนอน เลยพิมพ์ผิดพิมพ์ถูก ตามไปแก้โจทย์มาแล้วครับ
21. ถ้าว่าตามโจทย์ก็ถูกแล้วครับ ที่จริงเพิ่งมาเห็นเหมือนกันว่าพิมพ์โจทย์ข้อนี้ผิด เพราะตอนแรกต้องการแบบนี้
21.5. 1, 5, 15, 34, 65, 111,... อันหมายถึง 1, 2+3, 4+5+6, 7+8+9+10,...
(คงพอเดาได้นะครับว่าพิมพ์โจทย์ผิดได้อย่างไร แค่ตัวเดียวโจทย์โหดกว่าเดิมตั้งเยอะ)
25. หน่วยเป็นองศาครับ
(ข้อ 21.5 กับ 47 มีภาคต่อครับ)

ว่าแล้วก็เฉลยคำถามต่อ
67. ลำดับนี้อยู่ในรูป (เลข,จำนวนเลขที่ใช้แสดงทศนิยมซ้ำ) เช่น 1/3=0.333... ซ้ำกันตัวเดียว สี่กับห้าไม่นับเพราะเป็นทศนิยมรู้จบ เป็นต้น
หากผมหารไม่ผิดจะได้ว่าตัวต่อไปได้แก่ (13,6), (14,6),...
73. เขียนลำดับนี้ใหม่ จะได้ 4, 9=5+4, 20=9+2(5)+1, 43=20+2(11)+1, 90=43+2(23)+1,...
อันหมายถึง ตัวต่อไปได้แก่ 185=90+2(47)+1, 376=185+2(95)+1,...
74. (พอดูคำใบ้ชักไม่แน่ใจ แต่ขอตอบก่อน) แยกลำดับนี้ออกเป็นลำดับย่อยสองลำดับ คือ 37, 44, 49,... (เพิ่มทีละ 7, 5, 3,...) และ 47, 52, 62,... (เพิ่มทีละ 5, 10., 15,...) ดังนั้นตัวต่อไปคือ 52, 77, 53, 97,...
(ข้อ 73, 74 ก็มีภาคต่อครับ)

ว่าแล้วก็หลบไปนอนรอคำตอบข้ออื่น

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 70 ครับ
1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 31 , 57 , 99 , 163 , 256 , 386 , 562 , ...
คือ มีจุดอยู่ n จุด บนเส้นรอบวงของวงกลม ครับ แล้วลากเส้นเชื่อมระหว่างจุดให้เกิดจำนวนช่อง มากที่สุด ซึ่งก็คือ
\(\displaystyle{\sum_{r=0}^2{n \choose 2r}=\frac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}} \)


ข้อที่ 71 ครับ
1 , 2 , 4 , 8 , 15 , 28 , 52 , 96 , 177 , 326 , 600 , 1104 , ...
นั่นคือ \(\displaystyle{x_n\ =\ x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3}+1} \)
โดยที่ 4x₁ = 2x₂ = x₃ = 4

ผมว่า ตัวที่ 7 คือ 52 นะครับ ไม่ใช่ 42

[passer-by]

ข้อ 67 O.K. แล้วครับ แต่ 73 กับ 74 ยังไม่ ตรงใจคนตั้งโจทย์อ่ะครับ เอาเป็นว่า เดี๋ยว ผมเพิ่มให้อีก 1 เทอม แล้ว ลองคิดอีกทีแล้วกันครับ

แล้วก็เดินทางมาถึง ข้อ 75-77

75. 1, 2, 5, 14, 42,____
(ลำดับตัวนี้ well-known สำหรับนักคณิตศาสตร์สาย combinatorics ครับ)
76. 972, 486, 324, 243, 194.4,______
77. 1/2 , 1/3, 1/8, 1/30, 1/144,_______
(และเช่นเคย extra credit สำหรับ คนที่หาผลบวกของ infinite terms ได้)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
75. 1, 2, 4, 14, 42,____
(ลำดับตัวนี้ well-known สำหรับนักคณิตศาสตร์สาย combinatorics ครับ)

ถ้าคุณ passer-by ต้องการให้ข้อนี้เป็นลำดับของ Catalan numbers ล่ะก็พจน์ที่ 3 ต้องเป็น 5 นะครับ

ตอนนี้มีอยู่หลายข้อที่ผมคิดว่าทำได้แล้วครับ (ไม่ได้โม้นา ) แต่ยังไม่มีเวลาพิมพ์เลย (แปลว่ายังขี้เกียจพิมพ์น่ะ ) แถมโจทย์ก็ยังเข้ามากันหลุยๆอีกแน่ะ

[nongtum]

มาเคลียร์ก่อนครับ

ข้อ 70 ถูกแล้วครับ ไว้ว่างๆจะ scan รูปหรือหา link มาขยายความข้อนี้ครับ ส่วนข้อ 71 ไม่มีอะไรในกอไผ่

73. แน่ใจนะครับว่าพจน์ถัดไปเป็น 187 จริงๆน่ะครับ เพราะผมคิดว่าลำดับน่าจะเป็นแบบนี้
4, 9=4(2)+1, 20=9(2)+2, 43=20(2)+3, 90=43(2)+4, 185=90(2)+5, 376=185(2)+6,...

74. ลำดับนี้เป็นดังนี้ครับ
\({\begin{array}{rcl}\\
37&&\\
47&=&37+3+7\\
44&=&47-(7-4)\\
52&=&44+4+4\\
49&=&52-(5-2)\\
62&=&49+4+9\\
58&=&62-(6-2)\\
73&=&58+5+8\\
69&=&73-(7-3)\\
&\vdots&\\
\end{array}}\)

76. รูปทั่วไปของลำดับนี้คือ \(a_n=\frac{972}{n}\) อันหมายถึง พจน์ต่อไปได้แก่ \(\frac{972}{6}=162, \frac{972}{7}=138.86,\ldots\)

และก็เพิ่มโจทย์อีกสามข้อจากหนังสือเล่มเดิมครับ
78. 1, 7, 19, 37, 61,...
79. 1, 5, 12, 22, 35,...
80. (2,0), (2,1), (4,0), (2,3), (4,2),...

และขอนับคำถามต้นเหตุจากกระทู้เก่าเป็นข้อศูนย์ละกันครับ
0. 10,11,12,13,14,15,16,17,20,22,24,__,100,121,10000

[passer-by]

อย่างที่คุณ warut บอกครับ มันคือ Catalan number ซึ่งผมก็ได้แก้เทอมที่ 3 เรียบร้อยแล้วนะครับ
ส่วนข้อ 74,76 ถูกแล้วครับ

สำหรับ ข้อ 0 คือ เลข 16 ที่เขียนด้วย ฐาน n= 16,15,14,13,12,...,2 ดังนั้น ตัวที่ว่างอยู่ ก็คือ 31 ครับ

และข้อ 73 ผม set อันดับไว้อย่างนี้ครับ
a_n+1= a_n+ p_n เมื่อ p_n คือจำนวนเฉพาะน้อยสุดที่มากกว่า a_n โดยเริ่ม a₁=4 ดังนั้นตัวต่อไป คือ 187+191=378 ครับ

และ ในที่สุด ผมก็แวบๆเห็นเด็กประถม คนหนึ่ง เข้ามาที่กระทู้ " บวก ลบ คูณ หาร " ครับ ต้องบอกว่า ดีใจอย่างแรง (แวะมากระทู้นี้บ้างก็ดีเหมือนกันนะครับน้อง จะผิด จะถูก ก็ช่างมันเถอะครับ คนเราไม่มีใครถูกต้องได้ ตลอดเวลาหรอก)
ผม ยอมรับว่า ตั้งแต่ช่วง ที่ คำถาม มันเริ่มทะลุเพดานบนของเด็กประถมไปไกลโพ้นเนี่ย ประกอบกับ ไม่เห็นเด็กประถมผ่านมากระทู้นี้เลย ผมก็รู้สึก เซ็งๆ เหมือนกันครับ ก็เลย เปลี่ยน นโยบาย พยายามแทรกที่มัน advance มากๆเข้าไป ออกแนวประชดชีวิตมันซะเลย เช่น Wallis's product หรือ อย่าง catalan number ที่ผ่านมา
แต่ หลังจากนี้ จะพยายามเบรกตัวเอง สู่ภาวะปกติของห้องเด็กประถมแล้วกัน ครับ

ต่อด้วยตอบคำถามอีก 3 ข้อ
78. 91 (เพราะลำดับเพิ่มทีละ 6,12,18,24,30,...)
79. 51 (เพราะลำดับเพิ่มทีละ 4,7,10,13,...)
80. น่าจะเป็นการเขียน a_n= 1,2,4,8,16,... ในรูปของ (x,y) โดย a_n= x^y และ xนy ดังนั้น ตัวต่อไปควรเป็น (2,5)

[passer-by]

โทษทีครับ ไปอินทิเกรตอีกกระทู้มันไปหน่อย เลยไม่ได้แวบกลับมาที่นี่

แต่ทำไมรู้สึกว่า 2 วันมานี้ กระทู้นี้มันเงียบจัง ถ้าเป็นเพราะคำพูดของผมที่ว่า

แต่ หลังจากนี้ จะพยายามเบรกตัวเอง สู่ภาวะปกติของห้องเด็กประถมแล้วกัน ครับ

อย่าเพิ่งเข้าใจผิดครับ คือ ผมหมายความว่า ถ้าผมจะ post คำถามคราวหน้า จะพยายามให้มีแต่ความรู้ที่ไม่เกินประถมมากครับ (ถ้าเกินก็จะไม่ให้ทะลุถึงขั้นอุดมศึกษาครับ เพื่อรักษาความเป็นห้องของเด็กประถมเอาไว้)
ส่วนอะไรยากๆ ที่ผ่านมาแล้ว ก็ไม่เป็นไรครับ อย่าคิดมาก

งั้นวันนี้ ขอประเดิมด้วย คำถามซัก 2-3 ข้อแล้วกัน

81. 1936, 2112 ,2288 ,2464,______
82. 124 ,325, 544, 7125,_____
83. 2, 6, 14, 30,_____

(ข้อ 81 : Extra credit สำหรับผู้ที่หาได้ว่า แต่ละเทอม เกี่ยวพันกับ หน่วยวัดระยะทางอย่างไร)
(ข้อ 83 :Extra credit สำหรับผู้ที่หาได้ว่า แต่ละเทอมเกี่ยวกับ เรขาคณิตพื้นฐานระดับประถมศึกษา อย่างไร)