ช่วยคิดโจทย์พีชคณิตด้วยครับ

[Mobius]

ช่วยคิดโจทย์ตามนี้ด้วยครับ

1. จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยสุดซึ่งทำให้จำนวนต่อไปนี้ไม่สามารถทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้
$\frac{7}{n+9} , \frac{8}{n+10} , ... , \frac{31}{n+33}$(มีคำตอบแล้ว)


2. จงหาผลคูณของรากที่แตกต่างของสมการ
$ (x^2 - 3)^3 - (4x + 6)^3 + 216 = 18(4x + 6)(3 - x^2) $(Solved)


3. ถ้า $ \frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!} $
$ a_i \in \mathbb{I} $
$ 0 \leqslant a_i \leqslant i \ สำหรับ $
$ i = 2, 3, 4, ... 7 $
จงหา $ a_2 + a_3 + ... a_7 $(มีคำตอบแล้ว)

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

2. จงหาผลคูณของรากที่แตกต่างของสมการ
$ (x^2 - 3)^3 - (4x + 6)^3 + 216 = 18(4x + 6)(3 - x^2) $

ไม่ค่อยชัวร์เท่าไรนะครับ
ให้ $a=x^2-3,b=-4x-6,c=6$

พิจารณา

ถ้า $$ a+b+c=0$$
$$a+b=-c\Rightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$$
เเละ เรามี $$(x^2 - 3)^3 - (4x + 6)^3 + 216 = 18(4x + 6)(3 - x^2)$$
$$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$$
ดังนั้น $$(x^2-3)+(-4x-6)+(6)=0\Rightarrow x^2-4x-3=0$$
$\therefore $ ผลคูณของรากคือ $-3$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ไม่ค่อยชัวร์เท่าไรนะครับ
ให้ $a=x^2-3,b=-4x-6,c=6$

พิจารณา

ถ้า $$ a+b+c=0$$
$$a+b=-c\Rightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$$
เเละ เรามี $$(x^2 - 3)^3 - (4x + 6)^3 + 216 = 18(4x + 6)(3 - x^2)$$
$$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$$
ดังนั้น $$(x^2-3)+(-4x-6)+(6)=0\Rightarrow x^2-4x-3=0$$
$\therefore $ ผลคูณของรากคือ $-3$

พอดีแวะผ่านมา เพียงต้องการมาเสริมให้ชัวร์ว่า วิธีการที่ทำยังไม่สมบูรณ์ครับ ลองพิจารณาที่ สมการพหุนามมีดีกรี 6 แล้วทำไมมีเพียงสองราก โจทย์ข้อนี้มีลูกเล่นตรงที่ต้องเช็คว่ามีรากซ้ำหรือไม่ด้วย เพราะโจทย์ให้หาผลคูณของรากที่แตกต่าง (กระทู้อยู่ใน ม.ต้น จะรวมรากที่เป็นเชิงซ้อนด้วยหรือไม่ )

ข้อคิดที่ว่าไม่สมบูรณ์ เพราะไปใช้เงื่อนไข ที่ว่า

ถ้า $a^3+b^3+c^3 =3abc$ แล้วจะไปสรุปว่า $a+b+c =0$ นั้นต้องระวังนะครับ ไม่เหมือนกับที่

$a+b+c =0$ แล้ว $a^3+b^3+c^3 =3abc$

[จูกัดเหลียง]

#3 ขอบคุณที่ชี้เเนะครับ
จริงๆ ผมว่ามันก็... นะ 555+
เเล้ว ถ้าผมกระจายเฉพาะ ตัวเลขเพื่อหาผลคูณทั้งหมดอ่ะครับ

[หยินหยาง]

#4
ไม่ได้ครับเพราะข้อนี้มีคำตอบเป็นรากซ้ำอยู่ตัวหนึ่ง และเชิงซ้อน 2 ตัว

[Influenza_Mathematics]

ช่วยคิดข้อ 3 ด้วยครับ คิดไม่ออกอะ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

3. ถ้า $ \frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!} $
$ a_i \in \mathbb{I} $
$ 0 \leqslant a_i \leqslant i \ สำหรับ $
$ i = 2, 3, 4, ... 7 $
จงหา $ a_2 + a_3 + ... a_7 $

My_Solution

$\frac{5}{7} = (1+\frac{3}{7})\frac{1}{2!} = \frac{1}{2!}+\frac{3}{14} = \frac{1}{2!} + (1+\frac{2}{7})\frac{1}{3!} = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{21} = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + (1+\frac{1}{7})\frac{1}{4!}$

$=\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{7\cdot 4!} = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + (0+\frac{5}{7})\frac{1}{5!} = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{0}{5!} + \frac{1}{7\cdot 4!} = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{0}{5!} + \frac{4}{6!} + \frac{2}{7\cdot 6!}$

$=\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{0}{5!} + \frac{4}{6!} + \frac{2}{7!}$

[หยินหยาง]

#6
bound ค่าเอาครับ แล้วแยกกรณีคิด ได้ $a_2 = 1, a_3 = 1, a_4 = 1, a_5 = 0, a_6 = 4, a_7 = 2$
อีกกรณ๊ยังไม่ได้เช็คเมื่อ $a_2 = 0$ เพราะเจอคำตอบแล้ว asume ว่าโจทย์ไม่ผิด +555

[Mobius]

ขอบคุณกับทุกๆ คำตอบครับ
ตอนนี้ขอคำตอบข้อแรกด้วยนะครับ

[Mobius]

คราวนี้ก็มีเพิ่มอีกนะครับ แต่เป็น เรขาฯ ที่ผมทำไม่ได้ครับ

1. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม ถ้า $\angle CAD : \angle ABD : \angle BAD : \angle ADB = 1:2:3:4$ และ $\angle CBD : \angle BAD = 1:2$ แล้ว $\angle ADC$ มีขนาดกี่องศา(ยังไม่มีวิธีคิดที่ชัดเจน)

ป.ล. ข้อนี้ไม่มีภาพนะครับ

2. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรัศมี 65 หน่วย ถ้า AB = 50 หน่วย BC = 104 หน่วย CD = 120 หน่วย แล้ว AD เท่ากับกี่หน่วย (ไม่มีรูป)

3. จากรูป รูปสามเหลี่ยม APQ และรูปสี่เหลี่ยม PQCB มีวงกลมแนบใน ถ้า BC + PQ = 25 หน่วย และ AE = 7 หน่วย แล้วรูปสามเหลี่ยม ABC มีความยาวรอบรูปเ่ท่ากับกี่หน่วย

[doraemon_j]

ข้อ 1 ลองวาดรูปดูครับ แล้วต่อ AD ไปถึง E โดยให้ AE ยาวเท่ากับ AB แล้วลองทำดูต่อนะครับ ข้อนี้ผมได้ 130 องศาครับ
ข้อ 2 ลากส่วนของเส้นตรงไปยังจุดยอดทั้งสี่กับลากมาตั้งฉากกับด้านแต่ละด้าน แล้วลองสังเกตดูครับ ข้อนี้ได้ 78 หน่วยครับ
ข้อ 3 ผมติด PQ อยู่อ่ะครับ XP
รบกวนเทพช่วยตรวจสอบ แล้วก็ขอแนวคิดข้อสามด้วยนะครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ doraemon_j

ข้อ 1 ลองวาดรูปดูครับ แล้วต่อ AD ไปถึง E โดยให้ AE ยาวเท่ากับ AB แล้วลองทำดูต่อนะครับ ข้อนี้ผมได้ 130 องศาครับ
ข้อ 2 ลากส่วนของเส้นตรงไปยังจุดยอดทั้งสี่กับลากมาตั้งฉากกับด้านแต่ละด้าน แล้วลองสังเกตดูครับ ข้อนี้ได้ 78 หน่วยครับ
ข้อ 3 ผมติด PQ อยู่อ่ะครับ XP
รบกวนช่วยตรวจสอบ แล้วก็ขอแนวคิดข้อสามด้วยนะครับ

เผอิญไม่เทพ ไม่เมพ ขอลบคำว่าเทพทิ้ง
ข้อ 3. (มั้ง) คือสังเกตว่า EY+FG=2PQ และ YB+GC=BC
เอามารวมกันให้หมด จะได้ ความยาวรอบรูปคือ 2PQ+2BC+2AE=64 หน่วย
ปล. ขี้เกียจเขียนสัญลักษณ์ให้ถูกต้อง ละไว้ว่า XY คือความยาวของส่วนของเส้นตรง XY

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

ช่วยคิดโจทย์ตามนี้ด้วยครับ

1. จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยสุดซึ่งทำให้จำนวนต่อไปนี้ไม่สามารถทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้
$\frac{7}{n+9} , \frac{8}{n+10} , ... , \frac{31}{n+33}$

ไม่เข้าใจโจทย์ครับ

"ไม่สามารถทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้" แปลว่าอะไรครับ

"จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยสุด" ให้หา n ที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่น้อยที่สุด หรือเปล่าครับ

[Mobius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ไม่เข้าใจโจทย์ครับ

"ไม่สามารถทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้" แปลว่าอะไรครับ

"จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยสุด" ให้หา n ที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่น้อยที่สุด หรือเปล่าครับ

ผมเข้าใจว่า "ไม่สามารถทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้" หมายความว่ามันเป็นเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว จึงทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำกว่าเดิมไม่ได้ครับ

ส่วน "จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยสุด" คุณลุง banker เข้าใจถูกแล้วครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

ผมเข้าใจว่า "ไม่สามารถทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้" หมายความว่ามันเป็นเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว จึงทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำกว่าเดิมไม่ได้ครับ

ส่วน "จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยสุด" คุณลุง banker เข้าใจถูกแล้วครับ

ถ้าอย่างนั้น ก็แปลว่า ต้องหา n ที่ ทำให้ n+9, n+10, n+11, ... , n+33 เป็นจำนวนเฉพาะ

จะมีจำนวนเฉพาะอะไรที่เรียงคิดกันหลายๆตัวแบบนี้