Factorial

[Amankris]

1. จงหาจำนวนนับ $a,b$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $a!\cdot b!=a!+b!$

2. จงหาจำนวนนับ $a,b,c$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $a!\cdot b!=a!+b!+c!$

3. จงหาจำนวนนับ $a,b,c$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $a!\cdot b!=a!+b!+c^2$

4. จงหาจำนวนนับ $a,b,c$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $a!\cdot b!=a!+b!+2^c$

ปล. ขโมยมาจากพันทิพย์ครับ

[No.Name]

1.)
กรณีที่ 1 $a=b$ จะได้ $a=b=2$

กรณีที่ 2 $a\not= b$ และให้ $a>b>2$

$a!=1+\dfrac{a!}{b!}$ และเราให้ $a=b+k$ จะได้ $k$ เท่ากับ 1 เพียงกรณีเดียว เพราะถ้า $k \ge 2$ ระบบสมการจะไม่เป็นจริง และ b ต้องเป็นจำนวนคู่ (2 ฝั่งขวาไม่ลง)

$(b+1)!=1+(b+1)$ ไม่มีค่า b ที่สอดคล้อง

$(a,b)=(2,2)$

[Metamorphosis]

ยากจังครับ

[PaoBunJin]

ข้อ 1 อีกแบบนะครับ
ให้ $a!\cdot b!=a!+b!$
$\because a!|a!\cdot b!$
$\therefore a!|b!$
และเหตุผลเดียวกันจะได้ $b!|a!$
$\therefore a!=b!$
$a!^2=2a!$
แก้สมการจะได้ $a!=0,2$
$\therefore a=b=2$
ข้ออื่นๆเดี๋ยวมาคิดต่อตอนมืดๆครับ(ถ้าคิดได้)

[krit]

ข้อ $2$ คิดได้แต่ $(a,b,c)=(3,3,4)$
ข้อ $3,4$ คิดได้แต่ $(a,b,c)=(2,3,2),(3,2,2)$

[Amankris]

#5
มีวิธีพิสูจน์ไหมครับ

[ความฝัน]

อยากมีส่วนร่วมด้วยคน ข้อ2นะครับ

กรณีแรก a กับ b มีตัวใดตัวหนึ่งมากกว่า สมมติเป็น a

เราจะได้ว่า $a!\nmid b!$ และ $a!\nmid c!$ ด้วย นั่นคือ a>c ด้วย

และจาก a>c และ a>b ดังนั้น b!|a! และ b!|c!ลงตัวด้วย

ทำให้เราได้ว่า $a>c\geqslant b$

ถ้า a>c=b แล้ว a!b!=a!+b!+b!=a!+2b! แต่ $a!\nmid 2b! \therefore$ ไม่มีคำตอบ
ถ้า a>c>b แล้ว สมมติ a=b+1 และ c=b+1
ได้ $(b+1)!b!= (b+1)!+b!+(b+1)!\Rightarrow b^2+b=2b+3$ ซึ่งก็ไม่มีคำตอบ ถ้าa cมากกว่านี้ก็ไม่มีเช่นกัน

กรณีที่สองถ้า a=b เราจะได้ $a=b\leqslant c$ ซึ่งถ้าให้ทุกตัวเท่ากันมันจะไม่มีคำตอบ(a!=3)

ดังนั้น a=b<c ได้ a!a!=a!+a!+a!(a+1)...c

ได้ว่า a!=2+(a+1)...c
ถ้า c=a+1 จะได้ a!=2+a+1
a((a-1)!-1)=3
ที่a=3 (a-1)!=2 แทนค่าได้ a=b=3 และ c=a+1=3+1
ที่a=1 ไม่หาได้

c>a+1 จะได้ a!=2+(a+1)(a+2)...(a+y) ; c=a+y
ลองดูที่y=2
จะได้ $a!=2+a^2+3a+2 \Rightarrow a((a-1)!-a-3)=4$
ลองแทนระหว่างa กับ (a-1)!-a-3 ให้เท่ากับ 4หรือ1 2หรือ2 ดู จะได้ว่าหาค่าไม่ได้
ดังนั้น ถ้า y>=2 จะหาค่าไม่ได้แล้ว
จึงมี1คำตอบคือ (a,b,c)=(3,3,4)

[PP_nine]

ข้อ 4 น่าจะง่ายนะ, หาชุดคำตอบที่เป็นจำนวนนับของ $a!b!=a!+b!+2^c$

WLOG $a \le b$ ได้ว่า $a!|b!$ เสมอ

ดังนั้น $a!|2^c$ ได้ $a=1,2$ เท่านั้น

ถ้า $a=1$ สมการกลายเป็น $0=1+2^c$ ซึ่งไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนนับ

$\therefore a=2$ สมการเป็น $2(b!)=2+b!+2^c$

$b!=2+2^c=2(1+2^{c-1})$

ถ้า $c=1$ จะไม่มีคำตอบ และถ้า $c>1$ จะได้ $1+2^{c-1}$ เป็นเลขคี่ที่มากกว่า 1 แสดงว่า $b=3$ เท่านั้น

เพราะ $b!$ มี 2 เป็นตัวประกอบตัวเดียว และต้องมีเลขคี่เป็นตัวประกอบอีกอย่างน้อยตัวนึง

จึงได้ $(a,b,c)=(2,3,2),(3,2,2)$ (เดิม WLOG $a \le b$ จึงสลับกันได้)

[Amankris]

#7
อ่านยากมากครับ แล้วก็นัวมาเยอะเหมือนกัน

Hide

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความฝัน

ถ้า a>c=b แล้ว a!b!=a!+b!+b!=a!+2b! แต่ $a!\nmid 2b! \therefore$ ไม่มีคำตอบ

ทำไม $a!\nmid2b!$ ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความฝัน

ถ้า a>c>b แล้ว สมมติ a=b+1 และ c=b+1

สมมติได้อย่างไรครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความฝัน

ได้ $(b+1)!b!= (b+1)!+b!+(b+1)!\Rightarrow b^2+b=2b+3$ ซึ่งก็ไม่มีคำตอบ ถ้าa cมากกว่านี้ก็ไม่มีเช่นกัน

ทำไม $c$ มากกว่านี้ถึงสรุปว่าไม่มีเช่นกัน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความฝัน

จะได้ $a!=2+a^2+3a+2 \Rightarrow a((a-1)!-a-3)=4$
ลองแทนระหว่างa กับ (a-1)!-a-3 ให้เท่ากับ 4หรือ1 2หรือ2 ดู จะได้ว่าหาค่าไม่ได้
ดังนั้น ถ้า y>=2 จะหาค่าไม่ได้แล้ว

ถามเหมือนด้านบน ทำไม $y$ มากกว่านี้ ถึงสรุปว่าหาค่าไม่ได้ครับ

ปล. ใช้ Latex ทั้งหมดน่าจะะอ่านง่ายกว่า

[Thgx0312555]

1. จงหาจำนวนนับ a,b ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ a!·b!=a!+b!
$a!·b!=a!+b!$
$a!·b!-a!-b!=0$
$a!·b!-a!-b!+1=1$
$(a!-1)(b!-1)=1$
จาก $a!, b!\in N$
$a! = b! = 2$
$a = b = 2$

[Amankris]

2. จงหาจำนวนนับ $a,b,c$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $a!\cdot b!=a!+b!+c!$

$a!\cdot b!=a!+b!+c!$

สมมติ $a=1$ จะได้ $c!=-1$ พบว่าเป็นไปไม่ได้
สมมติ $a=2$ จะได้ $b!=c!+2$ พบว่าไม่มี $b,c$ ที่สอดคล้อง
ดังนั้น $a\ge3$ และในทำนองเดียวกัน จะได้ $b\ge3$

และ $c!-a!=a!b!-2a!-b!=(a!-1)b!-2a!\ge4a!-6\ge18$
นั่นคือ $c>a$ ดังนั้น $a!\mid c!$ ทำให้ $a!\mid b!$ ได้ว่า $a\le b$
และในทำนองเดียวกันจะได้ $b\le a$
ฉะนั้น $a=b$


แทนค่าจะได้ $\dfrac{c!}{a!}=a!-2$
แต่ $3\mid a!$ ดังนั้น $3\nmid \dfrac{c!}{a!}$ นั่นก็คือ $a+1\le c\le a+2$

กรณี1 $c=a+2$ จะได้ $(a+2)(a+1)=a!-2$ จัดรูปได้ $a!=a^2+3a+4$
นั่นคือ $a\mid4$ ดังนั้น $a=4$ พบว่าไม่สอดคล้องสมการ

กรณี2 $c=a+1$ จะได้ $a+1=a!-2$ จัดรูปได้ $a!=a+3$
นั่นคือ $a\mid3$ ดังนั้น $a=3$ และจะได้ $c=4$


จำนวนนับ $a,b,c$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $a!\cdot b!=a!+b!+c!$ คือ $(a,b,c)=(3,3,4)$

[Metamorphosis]

มาเพิ่มโจทย์ให้ข้อนึง

จงหาจำนวนเต็มทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $a!+b! =c!$

[Thgx0312555]

สมมติ $ a \le b < c$

ถ้า $c \ge 3$
จะได้ $c! = c(c-1)! > 2(c-1)! > a!+b!$

เพราะฉะนั้น $c \le 2$

$(a,b,c) = (1,1,2)$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

สมมติ $ a \le b < c$

ถ้า $c \ge 3$
จะได้ $c! = c(c-1)! > 2(c-1)! > a!+b!$

เพราะฉะนั้น $c \le 2$

$(a,b,c) = (1,1,2)$

ขอโทษด้วยครับ ขอแก้โจทย์นิดหน่อยครับ เปลี่ยนจากจำนวนนับ >> จำนวนเต็ม ครับ แต่แนวคิดก็คงได้แล้วหละครับ