ข้อสงสัยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของผม

[InI-Dea~]

* * ผมมีข้อสงสัย มากมายเลย ช่วยตอบหน่อยนะครับบบบบบบบ

1. AM-Gm คืออะไร ใช้ประโยชน์อะไรได้มั้งครับ

2. อนุกรม เทเลอร์ คืออะไร ใช้ประโยชน์อะไรได้มั้งครับ

3. พวก Algebra คืออะไร ใช้ประโยชน์อะไรได้มั้งครับ

4. สมการMaxwell

5. $1^x$ = 1 แล้วถ้า 1ยกกำลัง อินฟินิตี้ ทำไมไม่เท่ากับ 1 อะครับ

6. take limit มันเ้ป็นยังไงครับ

7. กฎของโลปิตาล , การดิฟในลิมิตรที่ 0/0 , L'Hospital Rule เหมือนกันหรือป่าวครับ

8. อ้างอิงจากคุณ jumper

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

กำหนดสมการ
$x^4+x^3+x^2+x+1=0$ $\cdots \left(\,1\right)$
จาก(1);$x^3+x^2+x+1=-x^4$ $\cdots \left(\,2\right)$
จาก(1);$x\left(\,x^3+x^2+x+1\right)+1=0$ $\cdots \left(\,3\right)$
เเทน(2)ใน(3);$x\left(\,-x^4\right)+1=0$
$-x^5+1=0$
$x^5=1$
$x=1$,เเทนใน(1)
$1^4+1^3+1^2+1+1=0$
$\therefore 5=0$!!!
มาจับผิดกันดีกว่า ผิดบรรทัดไหนครับ?(ชื่อหัวข้อผิดนะครับ)

แล้วคุณ seemmeriast ตอบว่า

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ seemmeriast

ในสมการดังกล่าว ถ้าพิจารณาจากบรรทัดบนมาบรรทัดล่าง เราจะสรุปได้ว่า
ถ้า $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ แล้ว $x=1$

แต่บทกลับไม่จำเป็นต้องจริง
นั่นคือ ถ้า $x=1$ แล้วไม่จำเป็นว่า $x^4+x^3+x^2+x+1$ จะต้องเท่ากับ 0

บทกลับมันว่าไว้่ยังไงหรอครับ

9. ทฤษฏี Menelaus'theorem , Ceva คืออะไร ใช้ประโยชน์อะไรได้มั้งครับ [ถ้าให้ดีขอเป็นภาษาไทยนะครับ อธิบายสั้นๆก็พอครับ]

10. ค่า พาย = 22/7 หรือแค่ค่าประมาณของ พาย

11. $ \frac{dy}{dx}$ = f'(x) ใช่ไหมครับ

12. จงหาพื้นที่บนแกน x ของที่ถูกปิดล้อมด้วย $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ ระหว่าง -2 ถึง 2
ข้อนี้ ต้องวาดกราฟแล้วจะได้คำตอบ
แล้วทำไม อินทิเกรต ปกติ มันไม่ได้ ทั้งๆ ที่เป็นไปตามขั้นตอนทุกอย่าง

ขอบคุณครับที่เสียเวลากันเข้ามาอ่านข้อสงสัยของผม

ถ้าให้ดีตอบให้หน่อยนะครับ T-T

[passer-by]

10. แค่ค่าประมาณของ $ \pi $ ครับ จริงๆแล้ว $ \pi$ เป็นจำนวนอตรรกยะ เขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้อยู่แล้ว

11. ถ้าให้ $ y= f(x) $ ก็เท่ากันครับ

12. ไม่ได้แปลว่าอินทิเกรตไม่ออกครับ เพียงแต่ต้องใช้ความรู้แคลคูลัส ปี 1 เพียงแต่ถ้าใครมองโจทย์ข้อนี้ออกว่าเท่ากับพื้นที่ ครึ่งวงกลม ก็จะง่ายขึ้นครับ

[nooonuii]

1. AM-GM เป็นอสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบครับ

2. อนุกรมเทเลอร์เป็นอนุกรมที่ใช้อธิบายฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติดีพอด้วยฟังก์ชันพหุนาม

ประโยชน์ก็คือทำให้การศึกษาฟังก์ชันในกลุ่มนี้ง่ายขึ้น

เำำพราะเรารู้ข้อมูลของฟังก์ชันพหุนามมากกว่าฟังก์ชันอื่น

3. Algebra เป็นวิชาว่าด้วยการแก้ปัญหาโดยใช้สัญลักษณ์ ประโยชน์มีมากมาย

ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เราเรียนในระดับมัธยมส่วนใหญ่ก็เป็นส่วนหนึ่งของวิชานี้

6. Take limit = ใส่ลิมิต

7. กฎของโลปิตาล = L'Hospital Rule

8. บทกลับคือ ถ้า $x=1$ แล้ว $x^4+x^3+x^2+x+1=0$

[หยินหยาง]

ข้อ 5 ที่ถามว่า 1 ยกกำลัง อินฟินิตี้ ทำไมไม่เท่ากับ 1 นั้นผมเข้าใจว่าคงไม่ใช่ 1 แต่เข้าใกล้หนึ่ง ซึ่งจะอยู่ในรูปแบบของ indeterminate form
คือมีเรื่องของลิมิตเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งสามารถแกปัญหานี้้ได้โดยใช้ L'Hospital Rule ครับ
ข้อ 8. ข้อนี้ถ้าจำไม่ผิดเป็นข้อสอบคัดเลือกเข้าเตรียม ปี 43 ซึ่งถามว่าข้อใดสรุปไม่ถูกต้อง แต่แนวคิดที่พอจะอธิบายให้เข้าใจได้ง่ายคือ สมการที่กำหนดให้ตอนแรก
เป็นสมการดีกรี 4 ซึ่งรากของคำตอบที่หาได้ก็ควรมี 4 ราก แต่พอตอนสุดท้ายจะเห็นว่าสมการกลายเป็น $x^5 =1$ ซึ่งเป็นดีกรี 5 ก็ควรมี 5 ราก และ 1
ก็เป็นรากของคำตอบในนั้นด้วย แต่ 1 ไม่ใช่รากของคำตอบในสมการที่โจทย์กำหนด ($x^4+x^3+x^2+x+1=0$) ซึ่งโดยปกติเวลาเราแก้สมการเสร็จแล้ว
อาจารย์มักสอนให้เรา นำค่าที่ได้ไปแทนในสมการที่โจทย์กำหนดให้ว่าจริงหรือไม่ ก็ด้วยเหตุผลเช่นนี้ เพราะระหว่างทางที่เราแก้สมการเราอาจมีการดำเนิการทาง
คณิตศาสตร์ เช่น ยกกำลังสอง หรือนำตัวแปรที่ยังไม่ทราบค่าไปหาร ซึ่งอาจทำให้ค่าที่ได้บางค่าไม่ถูกต้อง จึงต้องมีการตรวจสอบ
ข้อ 9 ลองค้นกระทู้เก่า ๆ ในกระทู้เรขาคณิตมีคนเคยตอบกันไปแล้ว

[InI-Dea~]

ขอบคุณทุกคนมากเลยคร้าบบบบบบบบบบบ

ถ้าผมมีข้อสงสัยอีก จะมาถามใหม่นะคร้าบบบบบบบ

[kongp]

AM-GM Inequality เกี่ยวกับ การวิเคราะห์สเถียรภาพของสัญญาณ ว่ากันยาวมากครับ จากนี้ ที่ผมเรียนมา จะต้องตรวจสอบว่า อยู่ในช่วง Right Haft Plane หรือไม่ อะไรซักอย่างเนี่ยละครับ

[murderer@IPST]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

AM-GM Inequality เกี่ยวกับ การวิเคราะห์สเถียรภาพของสัญญาณ ว่ากันยาวมากครับ จากนี้ ที่ผมเรียนมา จะต้องตรวจสอบว่า อยู่ในช่วง Right Haft Plane หรือไม่ อะไรซักอย่างเนี่ยละครับ

ผมคิดว่าไม่ใช่น่ะครับน่าจะเป็นอสมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับเรขาคณิตน่ะครับ

[kongp]

คุณน่าจะเข้าใจว่าศิลปินด้านคณิตศาสตร์ สามารถผูกพันความรู้ด้านต่างๆ เข้าด้วยกัน

ตัวอย่างชัดๆ เลยนะครับ เช่น คำว่า GM ย่อมาจาก Geometric Mean(ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ตามชื่อ) และดังนั้น เป็นความเห็นที่แปลกมากๆ เลย ว่า คุณ murderer@IPST ทำไมงง?

[kongp]

ผมมองว่าเราสามารถใช้ อสมการนี้ ในการประมาณใดๆ ได้ตามประสงค์

[LunghoK]

3. พวก Algebra คือ สมการในรูปตัวแปร x,y รวมถึงการแก้ระบบสมการเพื่อหาคำตอบ

6. take limit เป็นการหาค่าว่าระบบสมการนี้มีค่าเข้าใกล้อะไรอะคับ

7. กฎของโลปิตาล , การดิฟในลิมิตที่ 0/0 , L'Hospital Rule เหมือนกันหมดแหละงิ

8. ความจริงแล้วข้อนี้จะมีคำตอบของสมการอยู่ทั้งหมด 4 คำตอบ คือจำนวนเชิงซ้อนอีก 4 คำตอบ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เลยว่า 1 จะเป็นคำตอบของ x^4+x^3+x^2+x+1=0 เพราะแท้จริงแล้ว 1 เป็นคำตอบของสมการ x^5 = 1 ต่งหากอะคับ คือเป็นคนละสมการกันอะคับ

10. ค่า พาย = 3.14159.... ไม่ใช่ 22/7 ที่เท่ากับ 3.142...

11. \frac{dy}{dx} = f'(x) ใช่

12. จงหาพื้นที่บนแกน x ของที่ถูกปิดล้อมด้วย f(x) = \sqrt{4-x^2} ระหว่าง -2 ถึง 2
เพราะว่าบางทียังมีพื้นที่ใต้แกน x ด้วยอะคับ เลยหาตรงๆไปเลยไม่ได้

[Nay]

นิดนึง ค่าของพายก็คือ อัตราส่วนระหว่างความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งไม่ว่าวงกลมจะใหญ่หรือเล็กเท่าไดอัตราส่วนนี้ก็จะคงที่เสมอครับ แต่เนื่องจากอย่างที่เราทราบเราไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนของอัตราส่วนนี้ได้เนื่องจากค่าที่ได้เป็นจำนวนอตรรกยะดังนั้นเราเลยต้องใช้การ ประมาณค่านี้เอานะครับ

[kongp]

- นิยามของวิชา Algebra หลักๆ คือการแก้สมการ ระบบสมการ และเกี่ยวกับการแทนรูปแบบความสัมพันธ์ของวัตถุในรูปของตัวแปรคณิตศาสตร์ ปลีกย่อยอื่นจะเกิดจากการสังเกตุทางวิทยาศาสตร์ และวิชานี้จัดเป็นพื้นฐานทางวิศวกรรม แต่ผมเรียนวิชานี้มาแบบตรงไปตรงมา แต่ยิ่งศึกษาก็พบว่ามีหลายการแปลความ ที่ว่าได้ใช้จะเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์มีให้เห็นมากมาย


- เกี่ยวกับค่าพาย ให้ลองอ่าน the works of archimedes หรือบทความของวิกิ เรื่อง Pi หรือ the history of pi ของ paul ถ้าผมจำชื่อไม่ผิด

ทั้งหมดนี้คิดว่าจะให้ความเข้าใจเกี่ยวกับ ค่าพายมากขึ้น แต่สำหรับผู้ที่อยากเพียงแค่เสริมความรู้ เพื่อนำไปประยุกต์ใช้ ก็หาหนังสือที่บอกขั้นตอนวิธีอ่านจะดีกว่า
จะมีเนื้อหาปริมาณพอเหมาะ เช่น หนังสือวิชาทาง ฟิสิกส์-แมทธ์ ครับ

และมีเปเปอร์ของด็อกเตอร์ ไพศาล นาคมหาชลาสิทธุ์ เรื่อง The Stability of Discrete Cosine Transform เกี่ยวกับ เรื่อง AM-GM Inequality ที่คุณ

murderer@IPST สงสัย ควรอ่าน



โลกการศึกษานี้กว้างไกล และแตกต่างตามวัฒนธรรม จนยากที่จะมีผู้ประสบความสมหวัง เพราะเนื้อหายืดยาวไกล........

[mathematiiez]

อ๋อค่ะ แล้ว สูตร พ.ท.วงกลมเขาหามาจากไหนหรอคะ?

[owlpenguin]

เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าพื้นที่วงรีที่ความยาวครึ่งแกนเอกเท่ากับ $a$ และความยาวครึ่งแกนโทเท่ากับ $b$ จะเท่ากับ $\pi ab$
วงกลมก็คือวงรีที่ $a=b$ ดังนั้นเราจะได้ว่าพื้นที่วงกลมเท่ากับ $\pi r^2$
ส่วนวิธีการพิสูจน์สูตรพื้นที่วงรี ดูได้จากลิงค์นี้ครับ:
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4904

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathematiiez

อ๋อค่ะ แล้ว สูตร พ.ท.วงกลมเขาหามาจากไหนหรอคะ?

ยังมีวิธีที่ดูง่ายอีกหนึ่งวิธี คือ แบ่งวงกลมเป็นส่วนเล็กๆที่เท่ากันโดยใข้เส้นตรงตามแนวรัศมี
เราจะพบว่าส่วนเล็กๆนี้มีรูปร่างคล้ายรูปสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากับความยาวรัศมี(R) และมีฐานยาวdL
เมื่อนำทุกชิ้นมาเรียงต่อกันจะได้ความยาวฐานรวมที่มีขนาดเท่ากับ เส้นรอบวงของวงกลม ($2\pi R$)
ดังนั้นพื้นที่สามเหลี่ยมรวมทั้งหมดมีค่าเท่ากับ $ \frac{1}{2} \times (2\pi R) \times (R) $ = $ \pi R^2 $
( ผมประยุกต์จากสูตรการอินทิเกรท $ \frac{1}{2}.(r).(rd\theta) $ ตั้งแต่ $ \theta $ = 0 ถึง $2\pi $ ครับ)