ข้อสอบแข่งขัน : มีวิธีคิดอย่างไร??

[thicket_M]

แนะนำวิธีคิดให้หน่อยครับ..
1. ลูกเต๋าลูกหนึ่งมี 8 หน้า(1,2,3,...,8) ลูกที่สองมี 15 หน้า(1,2,3,...,15) ในการทอยลูกเต๋าสองลูกนี้พร้อมกัน 2 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ได้ผลรวมของแต้มที่ขึ้นทั้งสองลูกเท่ากันสองครั้ง ?
$1) \frac{1}{3} 2) \frac{1}{6}
3)\frac{1}{9} 4)\frac{1}{12}$

2. ในค่ายแห่งหนึ่งมีประตู4แบบคือ
A : ประตูตัน 6 ประตู
B : ประตูเข้าได้อย่างเดียว 8 ประตู
C : ประตูออกได้อย่างเดียว 3 ประตู
D : ประตูปกติ 12 ประตู
ถ้านาย ก. ต้องการเข้าและออกจากค่ายนี้อย่างละ 1 ครั้ง นาย ก. จะมีวิธีเข้าและออกจากค่ายได้กี่วิธี
ถ้าห้ามใช้ประตูซ้ำกัน ?
1) 36 2) 48 3) 144 4) 288

3. $ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง a<b<a^2 และ ab = 89 แล้ว b มีค่าเท่าใด (ข้อสอบเติมคำตอบ)$

4. $ให้ x,y \in \mathbf{R} ซึ่ง \frac{1}{x} = \frac{1}{y}+\frac{1}{x+y}
จงหาค่า {(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^6 (ข้อสอบเติมคำตอบ)$

หมายเหตุ 1. ที่มา : ข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ระดับช่วงชั้นที่ 3 (4th CUD Math Challenge 2008)
กลุ่มสาระฯคณิตศาสตร์และชมรมคณิตศาสตร์ Math For Fun รร.สาธิตจุฬาฯ ฝ่ายมัธยม
2. มีการเปลี่ยนแปลงสรรพนามในโจทย์เพื่อความกระทัดรัดและเพื่อให้เข้าใจง่าย ขออภัย ณ ที่นี้ด้วย.

[ผ่านมา]

ข้อ3 ตอบ -1รึป่าวคับ

[Exceeder]

ข้อ 4. คำตอบสวยมากเลยครับแต่ไม่รู้ว่าใช่เปล่า คิดได้ 1 อ่ะครับ

[t.B.]

edit ข้อ4 ตอนแรกคิดเลขผิดขอตอบใหม่เป็น $5^3$

[หยินหยาง]

2) ข้อ 4 288 วิธี
3) -1
4) 125
สำหรับข้อ 1.ผมคิดได้ไม่ตรงกับตัวเลือก ไม่รู้ว่าตีโจทย์ผิดหรือเปล่า ได้คำตอบ$\frac{11}{200}$

[Exceeder]

เอ้อ ผมผิดเองครับเขียนเครื่องหมายผิด
รีบทำไปหน๋อย

[ผ่านมา]

ไมข้อ4ผมได้-3^6อะ
ขอวิธีคิดหน่อยได้ไหมคับ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ผ่านมา

ไมข้อ4ผมได้-3^6อะ
ขอวิธีคิดหน่อยได้ไหมคับ

วิธีคิดข้อ4

$\frac{1}{x} =\frac{1}{y} +\frac{1}{x+y} $
$\frac{1}{x} -\frac{1}{y} =\frac{1}{x+y} $
$\frac{y-x}{xy} = \frac{1}{x+y} $
$\frac{y^2-x^2}{xy} =1$
$\frac{y}{x} -\frac{x}{y} =1 $
ให้ $A=\frac{y}{x} $
$\therefore A-\frac{1}{A} =1 ---(1)$
จากโจทย์ต้องการ $(A+\frac{1}{A} )^6=((A+\frac{1}{A} )^2)^3=(A^2+\frac{1}{A^2} +2)^3 --(2)$
ที่เหลือก็หา $A^2+\frac{1}{A^2} $จากสมการ(1)
$A-\frac{1}{A} =1 ---(1)$
$(A-\frac{1}{A} )^2=1^2$
$A^2+\frac{1}{A^2} -2=1$
$\therefore A^2+\frac{1}{A^2} =3$
แทนไปในสมการ(2) จะได้ $(A^2+\frac{1}{A^2} +2)^3=(3+2)^3=5^3=125 $

[ผ่านมา]

ขอบคุนคับผมดูเครื่องหมายผิดเอง