ขอวิธีคิดข้อนี้หน่อยคับ

[Cachy-Schwarz]

จงหาจำนวนจริงบวก x ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$x+[\frac{x}{3}]=[\frac{2x}{3} ]+[\frac{3x}{5}]$
เมื่อ [x] หมายถึง จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าน้อยกว่า หรือเท่ากับ x

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

ผมได้ x=2 ค่านึงละครับ
ไม่ทราบว่ามี x กี่ค่าอะครับ

[Amankris]

แยก 15 กรณีไหวมั้ย

[Cachy-Schwarz]

15 กรณีเช่นอะไรบ้างคับ ผมยังไม่เข้าใจ

[Amankris]

@#4

Hint

จะเห็นว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มครับ
แล้วใช้ modulo $15$

[Cachy-Schwarz]

ดูยังไงคับว่า x เป็นจำนวนเต็ม แล้วใช้ mod15 ยังไงคับ

[Amankris]

คำถามใน #6 ผมว่า น่าจะคิดเองได้นะ ไม่เกินกำลังแน่นอน

[BLACK-Dragon]

#6
ใช่ครับแล้วจะใช้ยังไงหรอครับ เราใช้ modulo ไปเช็คทำไมหรอครับ
ก็ปกติที่เห็นมันใช้หาเศษอย่างเดียวน่ะครับ

[Cachy-Schwarz]

ใช่ดูที่ว่าถ้า x ไม่เป็นจำนวนเต็มแล้วฝั่งขวาจะเป็นจำนวนเต็ม แต่ฝั่งซ้ายจะไม่ใช่จำนวนเต็มหรือป่าวคับ
ขอบคุณคับ

[Amankris]

แยก 15 กรณี แบบนี้

Hide

$x=15k,15k+1,15k+2,...,15k+14$

แต่มันก็มีวิธีอื่นที่ดีกว่า

[nooonuii]

สมมติว่า $x = 15k + r$ เมื่อ $0\leq r<15$ แทนค่าในสมการได้

$15k+r+\Big[5k+\dfrac{r}{3}\Big]=\Big[10k+\dfrac{2r}{3}\Big]+\Big[9k+\dfrac{3r}{5}\Big]$

$k+r+\Big[\dfrac{r}{3}\Big]=\Big[\dfrac{2r}{3}\Big]+\Big[\dfrac{3r}{5}\Big]$

แต่ $x-1<[x]\leq x$ เสมอ เราจึงได้

$(k-1)+r+\dfrac{r}{3}<k+r+\Big[\dfrac{r}{3}\Big]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\Big[\dfrac{2r}{3}\Big]+\Big[\dfrac{3r}{5}\Big]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq \dfrac{2r}{3}+\dfrac{3r}{5}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{19r}{15}$

ดังนั้น $k<1-\dfrac{r}{15}\leq 1$

แต่ $k\geq 0$ เราจึงได้ $k=0$ เท่านั้น

ดังนั้น $x\in\{1,2,...,14\}$

จากการแทนค่าจะพบว่า $x=2,5$ เท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไขของสมการ

[Cachy-Schwarz]

เข้าใจเเล้วคับขอบพระคุณทุกคนมาก ...(กราบ)

[Amankris]

วิธีมาตรฐานที่ใช้แก้โจทย์ทำนองนี้ครับ

Solution

ให้ $f(x)=x+\left\lfloor\dfrac{1}{3}x\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{2}{3}x\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{3x}{5}\right\rfloor$

จาก $f(x+3)=x+\left\lfloor\dfrac{1}{3}x\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{2}{3}x\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{3x-1}{5}\right\rfloor$

นั่นคือ $f(x+3)\geq f(x)$

และ $f(6)=f(7)=f(8)=1$ ดังนั้น $f(n)\geq1,\forall n\geq6$

ถึงตรงนี้เราก็นั่งไล่แค่ $1,2,3,4,5$ เท่านั้นครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

วิธีมาตรฐานที่ใช้แก้โจทย์ทำนองนี้ครับ

Solution

ให้ $f(x)=x+\left\lfloor\dfrac{1}{3}x\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{2}{3}x\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{3x}{5}\right\rfloor$

จาก $f(x+3)=x+\left\lfloor\dfrac{1}{3}x\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{2}{3}x\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{3x-1}{5}\right\rfloor$

นั่นคือ $f(x+3)\geq f(x)$

และ $f(6)=f(7)=f(8)=1$ ดังนั้น $f(n)\geq1,\forall n\geq6$

ถึงตรงนี้เราก็นั่งไล่แค่ $1,2,3,4,5$ เท่านั้นครับ

ผมอยากรู้ว่าทำไมเราถึงถอด$\left\lceil\,\right\rceil $ ไปไม่ได้แล้วเวลาเปลี่ยน
จาก $f(x)$เป็น $f(x+3)$เปลี่ยนแค่ตัวเดียวเองน่ะครับ ช่วยอธิบายหน่อยครับ
บอกชื่อเรื่องเกี่ยวกับพวกนี้มาก็ได้ครับจะลองไปหาอ่านเอง

[Amankris]

@#14
ลองหาอ่านสมบัติของ Floor Function นะครับ