ตรีโกน ช่วยทีงับทำไม่ออก

[Krittam]

$sinx +cosx +tanx+cotx + cosecx+ secx $ = 8 $หา tan2x$

[กขฃคฅฆง]

$\dfrac{sin^2xcosx+sinxcos^2x+sin^2x+cos^2x+cosx+sinx}{sinxcosx} = 8$

$sinxcosx(sinx+cosx)+sinx+cosx+1 = 4(2sinxcosx)$

จาก $(sinx+cosx)^2 = 1+2sinxcosx$

ให้ $sinx+cosx=a$ จะได้ $2sinxcosx = a^2-1$

$(\frac{a^2-1}{2})a+a+1 = 4(a^2-1)$

$(a+1)[(\frac{a-1}{2})a+1] = 4(a+1)(a-1)$

$(a+1)(a^2-9a+10) = 0$

$a = -1 , \frac{9+\sqrt{41} }{2} , \frac{9-\sqrt{41} }{2} $

ถ้า $a=-1$ จะได้ $2sinxcosx = 0$ จะได้ว่า $sinx=0$ หรือ $cosx=0$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

จาก $sinx+cosx \leqslant 2 $

$\therefore sinx+cosx = \frac{9-\sqrt{41} }{2}$

$sin2x = (\frac{9-\sqrt{41} }{2})^2-1 = \frac{59-9\sqrt{41} }{2} $

ถ้า $a$ เป็นคำตอบแล้วจะได้ว่า $\frac{\pi }{2} -a$ เป็นคำตอบด้วย ดังนัั้นคำตอบจะอยู่ทั้งในช่วง $(0,\frac{\pi}{4})$ และในช่วง $(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$ ($0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}$ ไม่ใช่คำตอบ)

ดังนั้น $2x$ จะอยู่ทั้ง $Q_1$ และ $Q_2$ จะได้ว่า $cos2x$ มีทั้งค่าบวกและลบ

$cos2x = \pm \sqrt{1-(\frac{59-9\sqrt{41} }{2})^2} =\pm \frac{\sqrt{1062\sqrt{41} -6798}}{2} $

$tan2x = \pm \frac{59-9\sqrt{41}}{\sqrt{1062\sqrt{41} -6798}} $

[Krittam]

ขอบคุณครับ คุณ @กขฃคฅฆง

[กิตติ]

เคยมีคนเอามาลงถามในนี้แล้ว แต่ถามแค่ $sin 2x$ เมื่อ 4 ปีก่อน
ผมก็เคยทำจนลืมไปแล้ว ทำแบบที่มีคนเฉลยในโพสสอง
โจทย์ตรีโกณมิติ(อย่างง่ายหรือยาก?)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ผมมองว่าถ้าหาค่าของ$sinx+cosx$ ได้ก็หาคำตอบได้ เพราะ$(sinx+cosx)^2=1+sin2x$
$sin x +cos x+tan x+cosec x+sec x +cot x = 8$

$tanx+cotx=\dfrac{1}{sinx cosx} $

$cosec x+sec x =\dfrac{sin x +cos x}{sinx cosx} $

$sinx cosx(sin x +cos x)+1+sin x +cos x=8sinx cosx$

$sin^2xcosx+cos^2xsinx+1+sin x +cos x=8sinx cosx$

$cosx-cos^3x+sinx-sin^3x+1+sin x +cos x=8sinx cosx$

$2(sin x +cos x)+1=cos^3x+sin^3x+8sinx cosx$

$2(sin x +cos x)+1=(cosx+sinx)(1-sinxcosx)+4((sinx+cosx)^2-1)$

$(cosx+sinx)(1+sinxcosx)-4(sinx+cosx)^2+5=0$

แทน$\frac{1}{2}\left\{\,(sinx+cosx)^2-1\right\}=sinxcosx$

$\frac{1}{2}\left\{\,(sinx+cosx)^2+1\right\}=1+sinxcosx$

$(sinx+cosx)^3-8(sinx+cosx)^2+(sinx+cosx)+10=0$

ให้$sinx+cosx=A$

$A^3-8A^2+A+10=0$

$(A+1)(A^2-9A+10)=0$

$A=\quad -1, \quad \frac{9\pm \sqrt{41} }{2} $

ดังนั้น$sin2x=0$ และ $sin2x=\quad \frac{59\pm 9\sqrt{41} }{2}$
ค่า$-1\leqslant sin\theta\leqslant 1 $
จึงเหลือคำตอบคือ
$sin2x=0,\quad \frac{59-9\sqrt{41} }{2}$
แต่$sin2x=0\rightarrow sinx=0$ หรือ $cosx=0$ ซึ่งทำให้หาค่าของ $tan x,cosec x,sec x,cot x$ ไม่ได้ เหลือคำตอบคือ $sin2x=\quad \frac{59-9\sqrt{41} }{2}$