โจทย์ค่าย สพฐ.2554

[polsk133]

โจทย์อยู่หน้า2





คืออยากได้ชีทที่เค้าแจกอะครับ ใครว่างรบกวนแสกนให้ผมหน่อย ของผมเพิ่งไปค้นในกองแล้วก็เจอครบแม็กรวมยังไม่ได้ทำสำเนา แล้วไปลืมไว้บนรถตุ๊กๆซึ่งคงไปไกลแล้ว (น่าเสียดายมาก)
ชีทมีดังนี้
1.ชีทของ อ.จากสามเสน 3ใบ(จริงๆแล้วมี4ใบแต่เค้าเก็บคืนไป1ใบ แต่ผมถ่ายรูปไว้) ใบแรกได้วันแรก 2ใบหลังได้วันสุดท้าย
2.ชีทของ อ.จากสวนกุหลาบ น่าจะ 1 ใบก ข้อ1 จะเป็นจำนวนชุดของ $x^4-y^4=N$ ข้อ2.จะมี ! เยอะๆ ละข้อสุดท้ายเป็น IMO ดัดแปลงอะครับ
3.ชีมของ อ.ไมตรี 1ใบเป็นเรขา6ข้อ
4.ชีทของ อ.อีกคน ผมไม่ทราบชื่อมี2ใบ แต่ผมมีแล้วใบนึง(ใบที่มีข้อให้ prove ทฤษฎีแบ่งครึ่งมุม) อยากได้อีกใบครับ

ขอความกรุณาด้วยครับ
ชีทที่ รร ก็หาย แต่ไม่เสียดายเท่าอันนี้จริงๆ

[polsk133]

ไม่เอาแล้วครับ บังเอิญโชคดีมากๆตุ๊กๆเอามาคืนที่ รร

[polsk133]

เจอแล้วก็ขอจัดสักหน่อยครับ บางข้อซ้ำ/ง่ายไป ขอไม่เอาลงละกันครับ
ข้อสอบที่เป็นแบบฝึกหัดนะครับ ข้อสอบจริงเค้าไม่ให้คืน

1.จำนวน 4 หลักซึ่งสร้างจากเลขโด $1,2,3,...,8$ มีกี่จำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัว

2.จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $(13+23)(13^2+23^2)...(13^n+23^n)$ หารด้วย 33 ลงตัว

3.กำหนด a,b,c สอดคล้องกับสมการ $a=c(4-c),b=a(4-a),c=b(4-b)$ จงหา $a+b+c$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้

4.a,b,c,d เป็นจำนวน ตรรกยะที่สอดคล้องกับระบบสมการ (ข้อนี้ผมยังคิดไม่ออกเลย555+)
$8a^2-3b^2+5c^2+16d^2-10ab+42cd+18a+22b-2c-54d=42$
และ $15a^2-3b^2+21c^2-5d^2+4ab+32cd-28a+14b-54c-52d=-22$
แล้ว $2a+4b+7c-d$ มีค่าเท่าไร

5.กำหนดสมการ

$\dfrac{1!}{2003!}+\dfrac{2!}{2004!}+...+\dfrac{2004!}{4006!}=A(\dfrac{1!}{2002!}-\dfrac{2005!}{4006!})$
จงหา A

6.จงหาจำนวนเต็มบวก N ทั้งหมดซึ่ง $2003\leqslant N \leqslant 2500$ และ $x^4-y^4=n$ สำหรับ จำนวนเต็มบวก x,y บางตัว

7.a,b,c เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ

$a+\dfrac{1}{bc}=\dfrac{1}{7}$
$b+\dfrac{1}{ac}=\dfrac{-1}{35}$
$c+\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{5}$

จงหาค่า $\dfrac{a-b}{c-d}$

8.กำหนด c,d เป็นจำนวนจริงและสมการ $x^3-8x^2+cx-d=0$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกสามจำนวน จงหาค่ามากสุดของ d-c

พอก่อนละกันครับ

ปล. ผมจะโดนจับไหม

[Pain 7th]

ขอบคุณครับบบบบบ

ปล1 . ไม่โดนหรอน้องพล เป็นวิทยาทานแก่คนอื่น ๆ

ปล.2 ข้อ 4 เหมือนจะยากที่สุดแล้วนะเนี่ย

[~ArT_Ty~]

นี่ของน้องยังดีนะครับ ที่ยังเก็บไว้ได้ ของพี่ป่านนี้กระจุยกระจายไปไหนก็ไม่รู้ อดเก็บไว้ดูเลย TT

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

...บางข้อซ้ำ/ง่ายไป ขอไม่เอาลงละกันครับ
....

1.จำนวน 4 หลักซึ่งสร้างจากเลขโด $1,2,3,...,8$ มีกี่จำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัว

แสดงว่าที่เอามาลงนี่ ยากกกกส์


ข้อนี้ทำยังไงครับ

เลข 4 หลัก แปลว่า ใช้เลขซ้ำได้ มีทั้งหมด 8x8x8x8 = 4096 จำนวน

ผลรวมเลขโดด 4 ตัวเท่ากับ 9, 18, 27, 36

เริ่มจากหลักพันเป็น 1

1116
1125
1134
1143
1152
1161

1179
1188
1197

1215
1224
1233
1242
1251
.
.
.
สงสัยนับไม่ไหว

[polsk133]

คุณBanker ลองดูข้อนี้ครับทำคล้ายๆกัน

จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋าnลูกหารด้วย6ลงตัว

n(s)คือ $6^n$

พิจารณา n(e)
โยนลูกเต๋า n-1 ลูก จะได้ผลรวมมา ซึ่งลูกสุดท้ายจะถูกบังคับ จึงได้ $event=6^{n-1}$

[banker]

$n(s) \ $ คือ $ \ 4^6 = 4096$

event $ \ =4^{6-1} = 4^5 = 1024 $ จำวน

อย่างนี้หรือครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

4.a,b,c,d เป็นจำนวน ตรรกยะที่สอดคล้องกับระบบสมการ
$8a^2-3b^2+5c^2+16d^2-10ab+42cd+18a+22b-2c-54d=42$
และ $15a^2-3b^2+21c^2-5d^2+4ab+32cd-28a+14b-54c-52d=-22$
แล้ว $2a+4b+7c-d$ มีค่าเท่าไร

ข้อนี้ผมพอคิดคำตอบได้แล้ว แต่ยังให้เหตุผลมั่ว ๆ อยู่ครับ (จินตนาการ )

ใครจะลองคิดดูต่อก็ดี

จากสมการทั้งสอง จะจัดรูปได้เป็น

$(4a+b-5)(2a-3b+7) + (5c+2d-7)(c+8d+1) = 0 ...(1)$

$(5a+3b-11)(3a-b+1) + (7c-d-11)(3c+5d-3) = 0 ... (2)$

Continue

ให้ $x = 4a+b-5, y = 2a-3b+7, z = 5a+3b-11, w = 3a-b+1$

และ $p = 5c+2d-7, q = c+8d+1, r = 7c-d-11, s = 3c+5d-3$

จึงได้ระบบสมการว่า $xy+pq=0 ...(*1)$

และ $zw+rs = 0 ... (*2)$

นอกจากนี้ยังเห็นว่า $x-y = z-w ... (*3)$

กับ $p-q=r-s ... (*4)$

จากระบบสมการทั้งสี่ จะได้ว่า $x^2+y^2+p^2+q^2 = z^2+w^2+r^2+s^2$

จะเห็นว่า ถ้า $x=y=p=q=0 และ z=w=r=s = 0$

แล้วจะได้ระบบสมการเชิงเส้นสองชุด ซึ่งถ้าเส้นตรงทั้งนี้ ตัดที่จุดเดียวกันคือ (a, b) กับ (c, d) ก็จะมีคำตอบได้

ถ้าแก้ระบบสมการจะได้ $a=4/7, b=19/7, c=29/19, d=-6/19$

ดังนั้น $(2a+4b)+(7c-d) = 12+11 = 23$

[Pain 7th]

ผมขอถามคำเดียวครับ "คุณกรเป็นเทพหรือเปล่าครับ"

จัดรูปได้ไงอ่ะครับ ดูยังไงหรอครับ โหดมากๆ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

จัดรูปได้ไงอ่ะครับ ดูยังไงหรอครับ โหดมากๆ

จัดรูปยากแต่พอไหวครับ ผมมีหลักการจัด + เดาอยู่

เดี๋ยวว่าง ๆ ผมจะหาเวลาเขียนอธิบาย เพราะมันเป็นศาสตร์แห่งการเล่นเกมจับคู่

ที่ยากก็คือตรงคิดต่อ ซึ่งผมจิตนาการว่าเป็นเส้นตรงสี่เส้นตัดกันที่จุดเดียวกัน สองคู่

อันนี้ผมยังหาเหตุผลไม่ได้เลยขอเขียนแปะไว้ก่อนกันลืม

คืนนี้ผมต้องคิดเลขต่ออีกอย่างน้อย 50 ข้อ ถึงนอนได้

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

จากสมการทั้งสอง จะจัดรูปได้เป็น

$(4a+b-5)(2a-3b+7) + (5c+2d-7)(c+8d+1) = 0 ...(1)$

$(5a+3b-11)(3a-b+1) + (7c-d-11)(3c+5d-3) = 0 ... (2)$

ผมไม่ค่อยเทพเท่าคุณgonแต่ค่อยๆแยกแยะได้แบบนี้ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

4.a,b,c,d เป็นจำนวน ตรรกยะที่สอดคล้องกับระบบสมการ (ข้อนี้ผมยังคิดไม่ออกเลย555+)
$8a^2-3b^2+5c^2+16d^2-10ab+42cd+18a+22b-2c-54d=42$
และ $15a^2-3b^2+21c^2-5d^2+4ab+32cd-28a+14b-54c-52d=-22$
แล้ว $2a+4b+7c-d$ มีค่าเท่าไร

จาก $8a^2-3b^2+5c^2+16d^2-10ab+42cd+18a+22b-2c-54d=42$
$(8a^2-10ab-3b^2)+(5c^2+42cd+16d^2)+18a+22b-2c-54d=42$
$(4a+b)(2a-3b)+(5c+2d)(c+8d)+18a+22b-2c-54d=42$
ให้สมมติว่า $m(4a+b)+n(2a-3b)=18a+22b$
ดังนั้น $4m+2n=18...(1),m-3n=22...(2)$แก้ระบบสมการได้ $m=7,n=-5$
ทำนองเดียวกันให้สมมติว่า $x(5c+2d)+y(c+8d)=-2c-54d$
ดังนั้น $5x+y=-2...(1),2x+8y=-54...(2)$แก้ระบบสมการได้ $x=1,y=-7$
จะได้ว่า $(4a+b)(2a-3b)+(5c+2d)(c+8d)+7(4a+b)-5(2a-3b)+(5c+2d)-7(c+8d)=42$
$(4a+b)(2a-3b)+7(4a+b)-5(2a-3b)+(5c+2d)(c+8d)+(5c+2d)-7(c+8d)=42$
$(4a+b)(2a-3b+7)-5(2a-3b)+(5c+2d)(c+8d+1)-7(c+8d)=42$
$(4a+b)(2a-3b+7)-5(2a-3b+7)+(5c+2d)(c+8d+1)-7(c+8d+1)=42-35-7$
$(4a+b-5)(2a-3b+7)+(5c+2d-7)(c+8d+1)=42-35-7$
$(4a+b-5)(2a-3b+7)+(5c+2d-7)(c+8d+1)=0$
อีกสมการก็ค่อยๆทำไปครับ ตาลายมากๆ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$n(s) \ $ คือ $ \ 4^6 = 4096$

event $ \ =4^{6-1} = 4^5 = 1024 $ จำวน

อย่างนี้หรือครับ

จำนวนจำนวน4หลักที่หารด้วย 9ลงตัว เท่ากับ จำนวน3หลักที่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว

ที่บอกว่าเหมือนก็เพราะคิดเป็น เลือกจำนวน3หลักที่9หารไม่ลงมา จากนั้นเลขหลักสุดทท้ายจะถูกบังคับให้มีตัวเดียว

เช่น 544-->5445

[Night Baron]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

2.จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $(13+23)(13^2+23^2)...(13^n+23^n)$ หารด้วย 33 ลงตัว

ข้อนี้ มอง 13=11+2 และ 23 = 22+1

จะได้ 13^5=11m+32 และ 23^5 = 22n+1

จะได้ n น้อยสุดเป็น 5

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ผมไม่ค่อยเทพเท่าคุณgonแต่ค่อยๆแยกแยะได้แบบนี้ครับ

จาก $8a^2-3b^2+5c^2+16d^2-10ab+42cd+18a+22b-2c-54d=42$
$(8a^2-10ab-3b^2)+(5c^2+42cd+16d^2)+18a+22b-2c-54d=42$
$(4a+b)(2a-3b)+(5c+2d)(c+8d)+18a+22b-2c-54d=42$
ให้สมมติว่า $m(4a+b)+n(2a-3b)=18a+22b$
ดังนั้น $4m+2n=18...(1),m-3n=22...(2)$แก้ระบบสมการได้ $m=7,n=-5$
ทำนองเดียวกันให้สมมติว่า $x(5c+2d)+y(c+8d)=-2c-54d$
ดังนั้น $5x+y=-2...(1),2x+8y=-54...(2)$แก้ระบบสมการได้ $x=1,y=-7$
จะได้ว่า $(4a+b)(2a-3b)+(5c+2d)(c+8d)+7(4a+b)-5(2a-3b)+(5c+2d)-7(c+8d)=42$
$(4a+b)(2a-3b)+7(4a+b)-5(2a-3b)+(5c+2d)(c+8d)+(5c+2d)-7(c+8d)=42$
$(4a+b)(2a-3b+7)-5(2a-3b)+(5c+2d)(c+8d+1)-7(c+8d)=42$
$(4a+b)(2a-3b+7)-5(2a-3b+7)+(5c+2d)(c+8d+1)-7(c+8d+1)=42-35-7$
$(4a+b-5)(2a-3b+7)+(5c+2d-7)(c+8d+1)=42-35-7$
$(4a+b-5)(2a-3b+7)+(5c+2d-7)(c+8d+1)=0$
อีกสมการก็ค่อยๆทำไปครับ ตาลายมากๆ

ขอบคุณมากๆครับความรู้ใหม่ จากพื้นฐานเลย คล้ายๆ xy-x-y-1=0 เลย แต่อันนี้ประยุกต์ได้เจ๋งมากครับบบบ