โจทย์เรขาคณิตปราบเซียนครับ

[cfcadet]

ครึ่งวงกลมบรรจุวงกลมใหญ่หนึ่งวงและวงกลมเล็กที่มีขนาดเท่ากันสองวง วงกลมทั้งสามสัมผัสกันดังรูป ถ้าวงกลมทั้งสามมีพื้นที่รวมกันเท่ากับ 150 ตารางหน่วย แล้วครึ่งวงกลมมีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

[cfcadet]

ขอความกรุณาด้วยนะครับ

[cfcadet]

ข้อนี้ไม่ท่านใด พอแนะนำได้บ้างหรือครับ

[gon]

โจทย์ข้อนี้

ถ้าจำไม่ผิดน่าจะมาหลายรอบแล้วครับ.

ให้ R แทน รัศมีวงกลมใหญ่ และ r แทน วงกลมรัศมีเล็กสุด

จะได้วงกลมขนาดกลาง รัศมี R/2

จากจุดศูนย์กลางวงกลมใหญ่สุด ลากส่วนของเส้นตรงไปยังจุดศูนย์กลางวงกลมเล็กซ้ายมือ
(ถ้าลากต่อไปอีก จะโดนจุดสัมผัสของงกลมเล็กกับใหญ่)

จากจุดศูนย์กลางวงกลมเล็กซ้ายมือ ลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลมขนาดกลาง
จากจุดศูนย์กลางวงกลมขนาดกลาง ลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลมใหญ่

จะเห็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ส่วนสูงกำลังสอง = ด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง - ด้านประกอบมุมฉากกำลังสอง

แต่ว่าส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากัน จะได้สมการว่า
$$(R-r)^2-r^2 = (\frac{R}{2}+r)^2 - (\frac{R}{2}-r)^2 $$
ดังนั้น $R = 4r$ ที่เหลือก็ตั้งสมการตามเงื่อนไข เพื่อหา $\pi R^2/2$

[banker]

$\pi (\frac{R}{2})^2 + 2 \pi r^2 = 150$............*

สามเหลี่ยม AOB กับ สามเหลี่ยม ACB โดยpytagoras

$(\frac{R}{2}+r)^2-(\frac{R}{2} - r)^2 = (R - r)^2 - (r)^2$

$R = 4r$

$r = \frac{R}{4}$


จาก .......* $ \ \ \ \ \pi (\frac{R}{2})^2 + 2 \pi (\frac{R}{4})^2 = 150$

$ \frac{1}{2} \pi R^2 = 200 \ $ตารางหน่วย

[cfcadet]

ขอบคุณมากๆ ครับ สำหรับคำแนะนำ

[gnap]

ปราบเซียน
...