one to one function

[Lekkoksung]

ถ้าเรามีฟังก์ชัน $f : (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}$ นิยามโดย
$$f(x)= \dfrac{x}{1-|x|}$$

ช่วยโชว์หน่อยครับว่า $f$ เป็น 1-1, onto และ $f, f^{-1}$ ต่อเนื่อง

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

ถ้าเรามีฟังก์ชัน $f : (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}$ นิยามโดย
$$f(x)= \dfrac{x}{1-|x|}$$

ช่วยโชว์หน่อยครับว่า $f$ เป็น 1-1, onto และ $f, f^{-1}$ ต่อเนื่อง

พิสูจน์ว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1

ต้องแสดงว่า

$y_1=y_2\rightarrow x_1=x_2 $

$ \equiv x_1\not= x_2\rightarrow y_1\not= y_2$

$x_1\not= x_2$

กรณี $x_1=-x_2$

$$x_1-x_2=2x_1$$
$$x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| _=2x_1\left|\,x_2\right| $$

ดังนั้น

$$x_1-x_2\not= x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| $$
$$x_1(1-\left|\,x_2\right| )\not= x_2(1-\left|\,x_1\right| )$$
$$\frac{x_1}{1-\left|\,x_1\right| } \not= \frac{x_2}{1-\left|\,x_2\right| } $$
$$y_1\not=y_2$$

กรณี $x_2\not= -x_1$

สมมติ $x_1>x_2$

$x_1-x_2>0$

ถ้า $ x_1\geqslant 0 $ และ $x_2\geqslant 0 $ แล้ว $ x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| =0$

ถ้า $ x_1 \leqslant 0 $ และ $x_2 \leqslant 0 $ แล้ว $ x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| =0$

ถ้า $ x_1\geqslant0 $ และ $x_2 \leqslant 0 $ ให้ $x_1=a $ $x_2=-b ; a,b\in [0,1)$

แล้ว $ x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| =2ab$

แต่ $x_1-x_2=a+b$

จากอสมการ AM GM

$\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \not= ab$

จะได้ว่า

ถ้า $ x_1>0 $ และ $x_2<0 $ แล้ว $ x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| \not= x_1-x_2 $








$$x_1-x_2\not= x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| $$
$$x_1(1-\left|\,x_2\right| )\not= x_2(1-\left|\,x_1\right| )$$
$$\frac{x_1}{1-\left|\,x_1\right| } \not= \frac{x_2}{1-\left|\,x_2\right| } $$
$$y_1\not=y_2$$

ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน 1-1

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ให้ $h\in (-1,1)$

$\lim_{x \to h^+} f(x) =\frac{h}{1-\left|\,h\right| }$
$\lim_{x \to h^-}f(x)=\frac{h}{1-\left|\,h\right| } $

กรณี $h=0$

$\lim_{x \to 0^+} f(x) =\frac{x}{1-x}=0$
$\lim_{x \to 0^-}f(x)=\frac{-x}{1-x} =0$

ดังนั้น $f(x)$ มี $limit$ ที่ $x\rightarrow h$

$\lim_{x \to h} f(x) =\frac{h}{1-\left|\,h\right| }=f(h)$

ดังนั้น f ต่อเนื่อง ที่ $x=h$ , $h\in (-1,1)$