คิดเลข แก้เงียบกันดีกว่าครับ . #

[RT,,Ant~*]

#270

ขอแก้ ความสูงเป็น 7 ฟุต ครับ .

[Siren-Of-Step]

หวังว่าจะได้ความรู้จากทุกคนนะครับ

กำหนดให้ $a>b>c>d>0$ โดยที่ $a+d=b+c$ จงแสดงว่า $ad<bc$

ถ้า $a>b$ และ $x \geqslant y$ จงแสดงว่า $ax+by \geqslant ay+bx$

ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า $\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{a} \geqslant a^2 + b^2$

จงพิสูจน์ว่า $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\geq \frac{x+y}{2}$
พิสูจน์ได้แต่มัน ไม่รู้ว่าเป็นผลสำเร็จรึเปล่า ช่วยตอบทีครับ

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

จงพิสูจน์ว่า $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\geq \frac{x+y}{2}$
พิสูจน์ได้แต่มัน ไม่รู้ว่าเป็นผลสำเร็จรึเปล่า ช่วยตอบทีครับ

กรณี $RHS<0$
เป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด เพราะ $LHS \geq 0$ เสมอ

กรณี $RHS\geq0$
กำลังสองทั้ง 2 ข้างได้ (เพราะเ็ป็นบวกทั้ง 2 ข้าง)
จะได้ $\frac{x^2+y^2}{2}\geq\frac{x^2+2xy+y^2}{4}$
$\Leftrightarrow 2x^2+2y^2\geq x^2+2xy+y^2$
$\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$
ซึ่งเป็นจริง


จริงๆ แล้ว ตัว $LHS$ นี้อาจเรียกได้ว่า RMS(Root Mean Square) หรือ QM(Quadratic Mean) ครับ
ซึ่งเราจะได้ว่า $QM \geq AM \geq GM \geq HM$ ครับ

($QM = \sqrt{\dfrac{a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2}{n}}$)

ป.ล. ผมบอกผิดตรงไหนบอกด้วยนะครับ

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า $\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{a} \geqslant a^2 + b^2$

โดยอสมการ AM-GM จะได้
$\dfrac{\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}}{4} \geq \sqrt[4]{a^8}=a^2$
และ
$\dfrac{\frac{b^3}{a}+\frac{b^3}{a}+\frac{b^3}{a}+\frac{a^3}{b}}{4} \geq \sqrt[4]{b^8}=b^2$

นำสองอสมการนี้มาบวกกันจะได้อสมการที่ต้องการ

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ถ้า $a>b$ และ $x \geqslant y$ จงแสดงว่า $ax+by \geqslant ay+bx$

จาก $a>b$ จะได้ $a-b>0$

จาก $x\geq y$ จะได้ว่า $x(a-b) \geq y(a-b)$ นั่นคือ $ax+by \geq ay+bx$ ตามต้องการ

[GoRdoN_BanksJunior]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

...QM(Quadratic Mean) ...

มันคืออะไรครับ

[RT,,Ant~*]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ GoRdoN_BanksJunior

มันคืออะไรครับ

น่าจะหมายถึง สมการกำลังสองครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT,,Ant~*

น่าจะหมายถึง สมการกำลังสองครับ

จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชั่น $f(x) = x(6-x)^2$ เมื่อ $0<x<6$

$x \in \mathbb{R} ^+$

[RT,,Ant~*]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชั่น $f(x) = x(6-x)^2$ เมื่อ $0<x<6$

32 ครับ

ต่อไป

เรือลำหนึ่งแล่นทวนน้ำขึ้นไป 30 กิโลเมตร แล้วแล่นกลับมาที่เดิมใช้เวลา 5 ชั่วโมง 20 นาที

แต่ถ้าแล่นตามระยะทาง 60 กิโลเมตร แล้วแล่นทวนน้ำอีก 45 กิโลเมตร จะใช้เวลา 9 ชั่วโมง

อัตราเร็วของการพายเรือในน้ำนิ่ง และอัตราเร็วของกระแสน้ำเป็นกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง (แสดงวิธีทำ)

[NTV]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชั่น $f(x) = x(6-x)^2$ เมื่อ $0<x<6$

ตอบ ค่าสูงสุดคือ 32 คร้าบ

[Siren-Of-Step]

$0<x<6$ ครับ

[NTV]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

$0<x<6$ ครับ

โจทย์ถามหาค่าสุงสุดไม่ใช่หรือครับ
ค่าสูงสุดของ f(x) คือ 32
ส่วนค่า x คือ 2 ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT,,Ant~*

32 ครับ

ต่อไป

เรือลำหนึ่งแล่นทวนน้ำขึ้นไป 30 กิโลเมตร แล้วแล่นกลับมาที่เดิมใช้เวลา 5 ชั่วโมง 20 นาที

แต่ถ้าแล่นตามระยะทาง 60 กิโลเมตร แล้วแล่นทวนน้ำอีก 45 กิโลเมตร จะใช้เวลา 9 ชั่วโมง

อัตราเร็วของการพายเรือในน้ำนิ่ง และอัตราเร็วของกระแสน้ำเป็นกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง (แสดงวิธีทำ)

อัตราเร็วของเรือในน้ำนิ่ง = 12 กม./ชม.
อัตราเร็วของกระแสน้ำ = 3 กม./ชม.

ถูกไหมครับ

[Siren-Of-Step]

โทดทีครับ มึนไปหน่อย

[~king duk kong~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NTV

ตอบ ค่าสูงสุดคือ 32 คร้าบ

คิดไงอ่ะครับ

[NTV]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT,,Ant~*

32 ครับ

ต่อไป

เรือลำหนึ่งแล่นทวนน้ำขึ้นไป 30 กิโลเมตร แล้วแล่นกลับมาที่เดิมใช้เวลา 5 ชั่วโมง 20 นาที

แต่ถ้าแล่นตามระยะทาง 60 กิโลเมตร แล้วแล่นทวนน้ำอีก 45 กิโลเมตร จะใช้เวลา 9 ชั่วโมง

อัตราเร็วของการพายเรือในน้ำนิ่ง และอัตราเร็วของกระแสน้ำเป็นกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง (แสดงวิธีทำ)

แสดงวิธีทำ

ให้ อัตราเร็วทวนน้ำ = x กม./ชม.
อัตราเร็วตามน้ำ = y กม./ชม.

30/x + 30/y = 5 ชม. 30 นาที
60/y + 45/x = 9 ชม.

แก้สมการจะได้ อัตราเร็วทวนน้ำ x = 9 กม./ชม.
อัตราเร็วตามน้ำ y =15 กม./ชม.

อัตราเร็วตามน้ำ = อัตราเร็วน้ำนิ่ง + อัตราเร็วกระแสน้ำ
อัตราเร็วทวนน้ำ = อัตราเร็วน้ำนิ่ง - อัตราเร็วกระแสน้ำ

แทนค่า อัตราเร็วทวนน้ำ และ อัตราเร็วน้ำนิ่ง แล้วแก้สมการจะได้

อัตราเร็วน้ำนิ่ง = 12 กม./ชม.
อัตราเร็วกระแสน้ำ = 3 กม./ชม.