ค่าต่ำสุด

จงหาค่าต่ำสุดของ
sqrt(3+x) + sqrt(3-y)
x,y = real number

เพราะว่า sqrt(3 + x) >= 0
และ sqrt(3 - y) >= 0
ดังนั้น sqrt(3 + x) + sqrt(3 - y) >= 0
ค่าต่ำสุดคือ 0

โทษครับลืมพิมพ์เงื่อนไขอีกตัวคือ
x^2 + y^2 = 9

ให้ p = sqrt(3 + x) + sqrt(3 - y)
เนื่องจาก x^2 + y^2 = 9
แสดงว่ามีจำนวนจริง a ที่ทำให้
x = 3sin(a) และ y = 3cos(a)
จะได้ p = sqrt{3 + 3sin(a)} + sqrt{3 - 3cos(a)}
p = sqrt(3)[sqrt{1 + sin(a)} + sqrt{1 - cos(a)}]
แต่ 1 + sin(a) = sin^2(a/2) + cos^2(a/2) + 2sin(a/2)cos(a/2)
หรือ 1 + sin(a) = {sin(a/2) + cos(a/2)}^2
ดังนั้น sqrt{1 + sin(a)} = sin(a/2) + cos(a/2)
และ 1 - cos(a) = 1 - {1 - 2sin^2(a/2)} = 2sin^2(a/2)
ดังนั้น sqrt{1 - cos(a)} = sqrt(2)sin(a/2)
จะได้ p = sqrt(3)[sin(a/2) + cos(a/2) + sqrt(2)sin(a/2)]
p = sqrt(3)[{1 + sqrt(2)}sin(a/2) + cos(a/2)]
ค่าต่ำสุดของ {1 + sqrt(2)}sin(a/2) + cos(a/2) คือ
= -sqrt[{1 + sqrt(2)}^2 + 1^2]
= -sqrt[1 + 2sqrt(2) + 2 + 1]
= -sqrt[4 + 2sqrt(2)]
ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ p คือ
= sqrt(3)[-sqrt{4 + 2sqrt(2)}]
= -sqrt[12 + 6sqrt(2)]

ขออภัย คำตอบข้างบนนั้นผิด ขอแก้ใหม่
จาก sqrt{1 + sin(a)} = sin(a/2) + cos(a/2)
ต้องแก้เป็น sqrt{1 + sin(a)} = | sin(a/2) + cos(a/2) |
และจาก sqrt{1 - cos(a)} = sqrt(2)sin(a/2)
ต้องแก้เป็น sqrt{1 - cos(a)} = sqrt(2)*| sin(a/2) |
ให้ q = | sin(a/2) + cos(a/2) | + sqrt(2)*| sin(a/2) |
จะได้ p = sqrt(3)*q
โดยการแบ่ง q ออกเป็น 4 กรณีคือ
1) sin(a/2) + cos(a/2) >= 0 และ sin(a/2) >= 0
2) sin(a/2) + cos(a/2) >= 0 และ sin(a/2) < 0
3) sin(a/2) + cos(a/2) < 0 และ sin(a/2) >= 0
4) sin(a/2) + cos(a/2) < 0 และ sin(a/2) < 0
จะได้ ค่าต่ำสุดของ q จากทั้ง 4 กรณีเป็น 1
ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ p คือ sqrt(3)*1 = sqrt(3)

[gon]

ถ้าเป็นสมาชิกก็สามารถแก้ข้อความเดิมได้อย่างสบายครับ.

[tunococ]

คิดอย่างงี้ก็ได้ จากเงื่อนไขที่ว่า x^2 + y^2 = 9 จะได้ว่า x = sqrt(9 - y^2)
แทนค่าที่ได้ในสมการแรกดู จะได้เป็นสมการตัวแปรเดียว สมมติให้เท่ากับ f(y) ดังนี้
f(y) = sqrt(3 + sqrt(9 - y^2)) + sqrt(3 - y)
ต่อจากนี้ จะใช้วิธีควายๆหน่อย diff แล้วหาค่าต่ำสุดก็ย่อมได้ แต่ดูก็รู้แล้วว่า f(y) จะน้อยสุดเมื่อ y = 3 (ไม่เชื่อลอง diff ดู) แทนค่า y = 3 จะได้ f(y) = sqrt(3) พอดี