เกี่ยวกับการหาลิมิต

[-InnoXenT-]

เรื่องแรก คือ มีอาจารย์ฝึกสอน ที่โรงเรียนเค้ามาถามว่า

$\lim_{x \to 1} \sqrt{x-1} = ?? $

ผมก็ตอบไปว่า หาค่าไม่ได้เพราะ $\lim_{x \to 1^{-}} \sqrt{x-1}$ หาค่าไม่ได้ และ มีค่าไม่เท่ากับ
$\lim_{x \to 1^{+}} \sqrt{x-1}$ ดังนั้น ลิมิต จึงหาค่าไม่ได้

แต่อาจารย์ บอกว่า ผิด $\lim_{x \to 1} \sqrt{x-1} = 0$ เพราะ ถ้าเรากำหนด $f(x) = \sqrt{x-1}$
จะได้ค่า $R_f = [0,\infty)$ ดังนั้นค่าที่ได้จากการแทนค่า ลิมิต ต้อง $ = 0$

ผมก็งงเลย = =a รบกวนช่วยแจ้งข้อเท็จจริงทีคับ

แล้วก็ ถ้าเรา กำหนด $f(x) = \frac{x^2-4x+4}{x-2} $ เราจะบอกว่า $f(2)$ ไม่สามารถหาค่าได้ใช่มั๊ยครับ
ดังนั้น

$\frac{x^2-4x+4}{x-2} * \frac{x-2}{x-2}$ (ถ้าแทนค่าตัวหลัง จะได้ $\frac{0}{0}$) พบว่าภายหลังการ ตัดกันเรียบร้อยเมื่อลองแทนค่า x = 2 ลงไป จะสามารถหาค่าได้ นั่นก็คือ = 0 ถ้างั้นแสดงว่า การคูณเข้า หรือหารออก ด้วย 1 จะทำให้เกิดค่าที่ไม่เหมือนเดิม ใช่ป่ะคับ - -a

ทีนี้ เนื่องจากข้างบน เป็นการคูณด้วย 1 ซึ่งเมื่อลองแทนค่า แล้วได้ $\frac{0}{0}$ ผมมาลองอีกอันนึง

$g(x) = \frac{x^3-8}{x-2}$ จะพบว่า f(2) ไม่สามารถหาค่าได้

เมื่อลองคูณด้วย $\frac{x^2+2x+4}{x^2+2x+4}$ (ทีนี้เมื่อลองแทนค่า x = 2 จะกลายเป็นคูณด้วย $\frac{12}{12}$ เมื่อกี้เป็น $\frac{0}{0}$)

จะพบว่า ภายหลังการคูณเข้าด้วย 1 หรือหารออก ด้วย 1 ทำให้เกิดค่าที่ผิดแปลกไปจากเดิม ทุกกรณี ใช่มะคับ - -a

[nooonuii]

เรื่องลิมิตของฟังก์ชันนั้นมีการใช้นิยามแตกต่างกันไปครับ

ถ้ายึดนิยามลิมิตซ้าย-ขวา $\lim_{x \to 1} \sqrt{x-1}$ หาค่าไม่ได้

แต่บางคนเขาอนุโลมให้ใช้ลิมิตทางขวาิอย่างเดียว ด้วยเหตุผลที่ว่า

ฟังก์ชัน $\sqrt{x-1}$ นั้นนิยามบนช่วง $[1,\infty)$

จึงไม่สามารถนิยามคำว่า ลิมิตทางซ้าย ให้กับฟังก์ชันนี้ได้

สังเกตให้ดีนะครับ ผมไม่ได้กล่าวว่า ลิมิตทางซ้ายหาค่าไม่ได้

แต่ผมกล่าวว่า ไม่สามารถนิยามลิมิตทางซ้ายได้

ในเมื่อนิยามลิมิตทางซ้ายไม่ได้ ก็ใช้แค่ลิมิตทางขวาอย่างเดียวจะเป็นไรไป

บางครั้งเพื่อตัดปัญหาข้อพิพาทในลักษณะนี้

เราจะนิยามลิมิตของฟังก์ชันสำหรับจุดใดๆที่อยู่ในช่วงเปิดเท่านั้นครับ
_________________________________________________________________________

คำว่าลิมิตของฟังก์ชัน $f$ ที่จุด $a$ นั้น เราหมายถึง

พฤติกรรมของฟังก์ชัน $f$ ที่จุดใดๆที่อยู่ใกล้จุด $a$ ครับ ไม่ใช่การแทนค่าที่จุด $a$ โดยตรง

(ซึ่งเราจะใช้สองอย่างนี้แทนกันได้ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุด $a$)

คราวนี้ลองดูฟังก์ชันนี้ $f(x) = \dfrac{x^2-4x+4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x-2)}{x-2}$

ฟังก์ชันนี้มีโดเมนคือ $\mathbb{R}-\{2\}$

ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่เราจะหาค่า $f(2)$ เพราะ $2$ ไม่อยู่ในโดเมน

แต่ ณ จุดใดๆที่อยู่ใกล้ $2$ ค่าของฟังก์ชัน $f$ นั้นหาได้ตามสูตรที่ให้มา

ดังนั้นถ้าเราจะหาค่าลิมิตที่จุด $2$ เราสามารถตัดเทอม $\dfrac{x-2}{x-2}$ ออกไปได้

เำำพราะจุดที่เราสนใจนั้นไม่ใช่ $2$ ค่าของ $\dfrac{x-2}{x-2}$ จึงเท่ากับ $1$ เสมอ

(ไม่ใช่ $\dfrac{0}{0}$ นะครับ)

เราจึงได้ $$\lim_{x\to 2} \dfrac{x^2-4x+4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x-2)=0$$

ซึ่งจะเห็นว่าลิมิตตัวหลังนั้นหาค่าได้ เำพราะว่าฟังก์ชัน $x-2$ นั้นต่อเนื่องที่ทุกจุด

ดังนั้นค่าลิมิตจึงเท่ากับการแทนค่าที่จุด $x=2$ พอดี

[gon]

ลองดูกระทู้เก่าประกอบครับ.

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=1683