โจทย์สนุกๆ คั่นเวลาแห่งการรอคอย ^_^~

[คuรักlaข]

ช่วง 2-3 วันนี้หลายๆคนคงเครียดรอลุ้นผลสอบกันน่าดู

ซึ่งผมก็เป็นหนึ่งในนั้น บางทีเครียดจนปวดขมับนอนหลับไปหลายยกเหมือนกัน

แต่มาลองคิดอีกทีจะเครียดให้ได้อะไร

เพราะฉะนั้น... เรามาทำโจทย์คั่นเวลากันดีกว่า

ระดับความยาก... ตั้งแต่ IJSO รอบแรก ขึ้นไป ถึง Pre Olympiad ครับ
(เผื่อน้องๆสอบ IJSO และ คนที่จะสอบรอบ 2 แต่ IJSO นี่รอบแรกสอบรึยังไม่แน่ใจ)

ผมประเดิมก่อนก็ได้ครับ

ให้ $30(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(A^x+B)$

และ M เป็นเศษจากการหาร A+AB+ABA+ABAB+...+ABABAB...(999 ตัว) ด้วย 10
เมื่อใช้ A และ B เขียนแทนเลขโดดในแต่ละหลัก เช่น ให้ A=7 / B = 3 จะได้ AB = 73

จงหาว่า $x^M มีจำนวนตัวประกอบทั้งหมดกี่ตัว$

-----------------------------------------

ลองไปชิมลางไปก่อน มีกติกา นิดนิดนึงครับ ตอบเสร็จแล้วตั้งข้อต่อไปด้วยครับ จะเอามาจากไหนก็ได้

[RT,,Ant~*]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คuรักlaข

ให้ $30(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(A^x+B)$

และ M เป็นเศษจากการหาร A+AB+ABA+ABAB+...+ABABAB...(999 ตัว) ด้วย 10
เมื่อใช้ A และ B เขียนแทนเลขโดดในแต่ละหลัก เช่น ให้ A=7 / B = 3 จะได้ AB = 73

จงหาว่า $x^M มีจำนวนตัวประกอบทั้งหมดกี่ตัว$

55+ ผมด้วยคนนึงแหละ ที่ลุ้น น เหมือน ๆ กัน น .

มอง $ 30 = 2 \cdot 15 $ และ $15 = (2^4-1)$

$ 2(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(A^x+B) $

$2(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(A^x+B)$

$2(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(A^x+B)$

$2(2^{32}-1)(2^{32}+1) = (A^x+B)$

$2(2^{64}-1) = (A^x+B)$

$ (2^{65} - 2) = (A^x+B)$

A = 2 B = -2 x = 65

และ M เป็นเศษจากการหาร A+AB+ABA+ABAB+...+ABABAB...(999 ตัว) ด้วย 10

$\therefore M = 2 $

$x^M = 65^2 $

$x^M = (5\cdot13)^2 $

$x^M = 5^2 \cdot 13^2 $

$จำนวนตัวประกอบของ x^m = (2+1)(2+1) = 9 $

ผิดตรงไหนก็แนะให้ด้วยนะครับ .

ส่วนข้อต่อไปก็

ถ้า a , b , c เป็นรากทั้งสามของสมการ $ x^3-x^2+x-2 = 0$ แล้ว

$a^3+b^3+c^3$ มีค่าเท่ากับเท่าไร .

[RT,,Ant~*]

ว่าแต่ ๆ อยากถามเพื่อน ๆ ที่รอลุ้นผลอยู่ว่า . สอง วันนี้ ทำไรกันครับ ? ? 5+

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT,,Ant~*

55+ ผมด้วยคนนึงแหละ ที่ลุ้น น เหมือน ๆ กัน น .

มอง $ 30 = 2 \cdot 15 $ และ $15 = (2^4-1)$

$ 2(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(A^x+B) $

$2(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(A^x+B)$

$2(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(A^x+B)$

$2(2^{32}-1)(2^{32}+1) = (A^x+B)$

$2(2^{64}-1) = (A^x+B)$

$ (2^{65} - 2) = (A^x+B)$

A = 2 B = -2 x = 65

และ M เป็นเศษจากการหาร A+AB+ABA+ABAB+...+ABABAB...(999 ตัว) ด้วย 10

$\therefore M = 2 $

$x^M = 65^2 $

$x^M = (5\cdot13)^2 $

$x^M = 5^2 \cdot 13^2 $

$จำนวนตัวประกอบของ x^m = (2+1)(2+1) = 9 $

ผิดตรงไหนก็แนะให้ด้วยนะครับ .

ส่วนข้อต่อไปก็

ถ้า a , b , c เป็นรากทั้งสามของสมการ $ x^3-x^2+x-2 = 0$ แล้ว

$a^3+b^3+c^3$ มีค่าเท่ากับเท่าไร .

ขอคารวะวิธีคิดอันยอดเยี่ยมของคุณRT,,Ant~*


แต่นังสงสัยตรงสีแดงว่า M = 2 มายังไงหรือครับ ไม่คอยเข้าใจ รบกวนอีกทีครับ
(B ติดลบ แล้วจะเขียน ABA, ABAB ยังไงครับ)

[อยากเก่งเลขครับ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ขอคารวะวิธีคิดอันยอดเยี่ยมของคุณRT,,Ant~*


แต่นังสงสัยตรงสีแดงว่า M = 2 มายังไงหรือครับ ไม่คอยเข้าใจ รบกวนอีกทีครับ
(B ติดลบ แล้วจะเขียน ABA, ABAB ยังไงครับ)

ABA = -222
ABAB = 2222 ปะครับ

[RT,,Ant~*]

ผมคิดว่า ผมน่าจะผิดนะครับ

แต่ถ้าเขียนแบบ #5 ก็น่าจะพอ ๆ ใช่อยู่อ่ะครับ

เมื่อกี้กำลังพิมพ์ solution อันใหม่ แต่ - - เครื่องรี ซะงั้น น

คิดว่าจะรอดีกว่าครับ

แต่ฝากไว้ให้ไปช่วยกันคิดหน่อย

ผมคิดว่า น่าจะต้องทำให้ B เป็น + รึเปล่า

คือ อาศัยจากหลักว่า $2^{x} - 1 = 2^{x-1} + [2^{x-1} -1]$

ยังไงก็ขออภัยไว้ด้วยครับ แหะ ๆ

[RT,,Ant~*]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อยากเก่งเลขครับ

ABA = -222
ABAB = -2222 ปะครับ

ถ้าเขียนแบบนี้ คิดว่า ABAB น่าจะ = 2222 นะครับ

[banker]

สมมุติว่าโจทย์ข้างบนผิด โจทย์ที่ถูกต้องเป็นดังนี้

ให้ $30(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=(A^x \color{red}{-}B)$

และ M เป็นเศษจากการหาร A+AB+ABA+ABAB+...+ABABAB...(999 ตัว) ด้วย 10
เมื่อใช้ A และ B เขียนแทนเลขโดดในแต่ละหลัก เช่น ให้ A=7 / B = 3 จะได้ AB = 73

จงหาว่า $x^M $ มีจำนวนตัวประกอบทั้งหมดกี่ตัว

คราวนี้ B ไม่ติดลบแล้ว จะได้ A = 2 , B = 2, X =65

จะได้ว่า M = 8

$x^M = 65^8 = (5\cdot 13)^8 = 5 ^8\cdot 13^8$

ตัวประกอบ มี 9x9 = 81 จำนวน

อย่างนี้หรือเปล่าครับ

[RT,,Ant~*]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

สมมุติว่าโจทย์ข้างบนผิด โจทย์ที่ถูกต้องเป็นดังนี้




คราวนี้ B ไม่ติดลบแล้ว จะได้ A = 2 , B = 2, X =65

จะได้ว่า M = 8

$x^M = 65^8 = (5\cdot 13)^8 = 5 ^8\cdot 13^8$

ตัวประกอบ มี 9x9 = 81 จำนวน

อย่างนี้หรือเปล่าครับ

ผมคิดว่าน่าจะใช่นะครับ ^ ^ รอ คนรักเลขมายืนยัน นน 5+

[คuรักlaข]

เหมือนจะลืมอะไรรึเปล่า

4 มีตัวประกอบเป็น -4,-2,-1,1,2,4

[~king duk kong~]

ถ้าอบ่างนั้น
ตัวประกอบของ 4 มีกี่จำนวน เราก็ต้องตอบ 6 หรอครับ

ปล. ผมตอบ 3 ตลอดเลยอ่ะครับ แต่มันถูก

[ดิน น้ำ ลม ไฟ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

ถ้าอบ่างนั้น
ตัวประกอบของ 4 มีกี่จำนวน เราก็ต้องตอบ 6 หรอครับ

ปล. ผมตอบ 3 ตลอดเลยอ่ะครับ แต่มันถูก

เอ่อออ เอาไงดีละ ผมก็งงอยู่เหมือนกันเรื่องนี้ ว่าจริงๆแล้ว 4 มีตัวประกอบกี่ตัว
หนังสือไม่เคยบอกเหมือนกันเลย
-----
ผมจึงอยากรู้นิยามของตัวประกอบครับ ว่ามีคำว่าเป็นจำนวนเต็มบวกหรือไม่
ใครตอบหน่อยนะครับ