ข้อสอบ 7th TMO

[PP_nine]

คำตอบบางข้อก็ขอเซนเซอร์ไว้ เพราะคำตอบน่าอายมาก
ส่วนที่ไม่ได้เซนเซอร์ก็แสดงว่าคำตอบถูก (รวมถึง hint)




ข้อสอบปีนี้ช็อคมาก ไอ้ข้อฟังก์ชัน f : R cross R -> R

[nooonuii]

นี่คือข้อสอบของปีนี้เหรอครับ

7. $a,b,c>0$ $$\dfrac{a^5}{bc^2}+\dfrac{b^5}{ca^2}+\dfrac{c^5}{ab^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

Solution 1:

$LHS = \dfrac{a^6}{abc^2}+\dfrac{b^6}{bca^2}+\dfrac{c^6}{cab^2}$

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ Cauchy

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ power mean $(a^3+b^3+c^3)^2\geq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^3$

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

$~~~~~~\geq a^2+b^2+c^2$ ใช้อสมการ $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$

Solution 2:

อสมการสมมูลกับ

$a^7b+b^7c+c^7a\geq a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4$

จาก Weighted AM - GM

$a^4b^2c^2=(a^7b)^{23/43}(b^7c)^{9/43}(c^7a)^{11/43}$

$~~~~~~~~\leq \dfrac{23}{43}a^7b+\dfrac{9}{43}b^7c+\dfrac{11}{43}c^7a$

อีกสองอสมการก็ทำแบบเดียวกัน บวกกันทั้งหมดจะได้อสมการที่ต้องการ

Solution 3:

จาก Holder's inequality

$\displaystyle{\sum_{cyc}a^4=\sum_{cyc}\Big(\dfrac{a^5}{bc^2}\Big)^{1/3}\Big(\dfrac{a^5}{bc^2}\Big)^{1/3}\Big(a^2b^2c^4\Big)^{1/3}}$

$~~~~~~~~\displaystyle{\leq \sqrt[3]{\Big(\sum_{cyc}\frac{a^5}{bc^2}\Big)^2(a^2b^2c^2)(a^2+b^2+c^2)}}$

ดังนั้น

$LHS^2\geq \dfrac{(a^4+b^4+c^4)^3}{a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)}$

$~~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^6}{27a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)}$ ใช้อสมการ power mean $a^4+b^4+c^4\geq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$

$~~~~~~~\geq (a^2+b^2+c^2)^2$ ใช้อสมการ AM-GM $(a^2+b^2+c^2)^3\geq 27a^2b^2c^2$

[bayes]

มีผลการแข่งขันเปล่าครับ

[Juniors]

เอาคำตอบวันแรกไปละกันครับ
ข้อ 1 - 55
ข้อ 2 - $\frac{2xyz}{\sqrt{2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-x^4-y^4-z^4}}$
ข้อ 3 - แสดงได้โดยง่ายว่า $n=3k-1$ ทุก ๆ $k \in \mathbb{N}$ สอดคล้อง
ข้อ 4 - $150^o$
ข้อ 9 - $-0.5$
ข้อ 10 - $p=7$ only

[~king duk kong~]

ข้อ 4 วันแรกทำยังไงอ่ะครับ

ปล.อยากได้เฉลยทุกข้อเลยอ่ะครับ ไปสอบได้ 5 คะแนน TT ตัดที่ 8 คะแนน

[Jew]

ยัดเมเนลอสและตรีโกณ
ผมได้ 7 คะแนนเองครับ
อีกคะแนนก็ได้แล้วT_T

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

ข้อ 4 วันแรกทำยังไงอ่ะครับ

ปล.อยากได้เฉลยทุกข้อเลยอ่ะครับ ไปสอบได้ 5 คะแนน TT ตัดที่ 8 คะแนน

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

ข้อ 4 วันแรกทำยังไงอ่ะครับ

ปล.อยากได้เฉลยทุกข้อเลยอ่ะครับ ไปสอบได้ 5 คะแนน TT ตัดที่ 8 คะแนน

มองรูปให้ออกแล้วใช้กฎของ sine ที่ว่า $\frac{a}{\sin A} = 2R$ ไม่กี่บรรทัดก็จะได้คำตอบครับ

[Aquarious]

ข้อแรกวันที่ 2

สมมุติว่ามี $x \in \mathbf{N}$ ซึ่งทำให้ทุก $ y \in {2,5,13}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

$\therefore$ จะมี $a,b,c\in \mathbf{Z}$ ซึ่ง
$2X-1 =a^2$ ------(1)
$5X-1 =b^2$ ------(2)
$13X-1 =c^2$ ------(3)

พิจารณา $2X-1 =a^2$ ดังนั้น aเป็นจำวนคี่

$\therefore$ a=2k+1

$\therefore$ $2x-1=(2k+1)^2$

จะได้ x=2k(k+1)+1 นั่นคือ $x\equiv 1(mod 4)$ และ xเป็นจำนวนคี่

เมื่อพิจารณา (2)และ(3) จะได้ว่า b,c ต้องเป็นคู่ด้วย

$b=2t$ และ $c=2s$

(3)-(2) $c^2-b^2 =8x$

$4t^2-4s^2=8x$

$t^2-s^2=2x\equiv 2(mod4)$ เพราะ$ x\equiv 1(mod 4)$

ซึึ่งเกิดข้อขัดแข้งเพราะ $t^2-s^2\equiv 0,1(mod4)$ เท่านั้น

[PP_nine]

ผมอยากได้ข้อ 9 ของวันแรกกับข้อ 5 ของวันสอง(ใครทำได้มั่ง - -")อ่ะครับ
เห็นแล้วช็อคไปนาน = =

[Aquarious]

ข้อ 9 วันแรก

ให้รากทั้ง 5 ตัวคือ $x_1,x_2,...,x_5$


จากผลบวกรากผลคูณรากของสมการจะได้ว่า

$ x_1+x_2+...+x_5= -\frac{5}{2}$ -----------(1)

และ$x_1x_2+...+x_4x_5=\frac{5}{2}$-------------(2)


$(1)^2-2*(2)$ จะได้ $x_1^2+x_2^2+...+x_5^2=\frac{5}{4}$-------(3)


$(3)*4-2*(2)$ จะได้ $(x_1-x_2)^2+(x_1-x_3)^2...+(x_4-x_5)^2= 0$

เพราะฉะนั้นรากทุกตัวต้องเท่ากัน นั่นคือ$x_1=x_2=...=x_5$

จะได้ว่ารากก็คือ $-\frac{1}{2}$

[-SIL-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquarious

ข้อแรกวันที่ 2

สมมุติว่ามี $x \in \mathbf{N}$ ซึ่งทำให้ทุก $ y \in {2,5,13}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

$\therefore$ จะมี $a,b,c\in \mathbf{Z}$ ซึ่ง
$2X-1 =a^2$ ------(1)
$5X-1 =b^2$ ------(2)
$13X-1 =c^2$ ------(3)

พิจารณา $2X-1 =a^2$ ดังนั้น aเป็นจำวนคี่

$\therefore$ a=2k+1

$\therefore$ $2x-1=(2k+1)^2$

จะได้ x=2k(k+1)+1 นั่นคือ $x\equiv 1(mod 4)$ และ xเป็นจำนวนคี่

เมื่อพิจารณา (2)และ(3) จะได้ว่า b,c ต้องเป็นคู่ด้วย

$b=2t$ และ $c=2s$

(3)-(2) $c^2-b^2 =8x$

$4t^2-4s^2=8x$

$t^2-s^2=2x\equiv 2(mod4)$ เพราะ$ x\equiv 1(mod 4)$

ซึึ่งเกิดข้อขัดแข้งเพราะ $t^2-s^2\equiv 0,1(mod4)$ เท่านั้น

กรณี y=2 ผม -1 ทั้งสองข้าง
กรณี y=5 ผม -4 ทั้งสองข้าง
กรณี y=13 ผม -25 ทั้งสองข้าง
แต่ได้ 0
ปล. ไม่ได้อะไรครับ ยังห่างไกลนัก

[tatari/nightmare]

อ่า ขอข้อ3 วันที่2 หละกัน....
เรื่องของเรื่องอยู่ที่การหา $DE$ ให้อยู่ในรูป $AB,BC,CA$
เราต่ิอ $AD$ และ $AE$ ออกไปตัดด้าน $BC$ ที่จุด $D',E'$ ตามลำดับ
จะเห็นว่าในสามเหลี่ยม $ABD'$ ส่วนสูง $BD$ ของสามเหลี่ยมแบ่งครึ่งมุม $\angle ABD'$
ดังนั้นเราจะได้ว่าสามเหลี่ยม $ABD'$ เป็นหน้าจั่ว(มีมุม B เปนมุมยอด) ทำให้ได้หลายอย่างๆ นยั่นคือ $AB=BD'$
และได้ว่า $D$ เปนจุดกึ่งกลางด้าน $AD'$ ในทำนองเดียวกันกับสามเหลี่ยม $ACE'$ เราก้อจะได้ $CE'=AC$
และ $E$ ก้อจะเปนจุดกึ่งกลางด้าน $AE'$ ด้วย
ดังนั้น DE จึงขนานกับ D'E' เรายังจะได้ด้วยว่า $DE=\dfrac{1}{2}D'E'$
สังเกตว่า(นี่เป็นกรณีที่จุด$D',E'$อยู่ภายในด้าน $BC$ ส่วนกรณีอื่นสามารถทำได้ในทำนองเดียวกันนะจ้ะ) $BE'+D'E'+CD'=BC\rightarrow (BD'-D'E')+D'E+'(CE'-D'E')=BC\rightarrow
(AB+AC)-D'E'=BC\rightarrow D'E'=AB+AC-BC$
จึงได้ $DE=\dfrac{1}{2}(AB+AC-BC)$
ปล1.นอกจากนี้จากที่ DE ขนานกับ D'E'(ซึ่งก้อคือBC) ทำให้ได้ด้วยว่า MN ขนานกับ BC
แต่จากที่ $D,E$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AD',AE'$ ดังนั้น $M,N$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AB,AC$ ด้วย
จึงได้ $MN=\dfrac{1}{2}BC$ เอา 2 ตัวนี้ไปแทนค่าก้อจบแระ .....

[Jew]

วนที่ 2 ข้อสี่ด้าน
a จัมเป็นต้องเป็นด้านตรงข้ามกับมุมยอด A ปล่าวครับ

[nooonuii]

ข้อ 5 วันที่สอง ผมทำได้แค่กรณีที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง ซึ่งกรณีนี้จะได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคงตัว นั่นคือ $f(x,y)=\dfrac{1005}{2}$

อยากรู้เฉลยข้อนี้มากๆเลยครับ