Quizz (ค่าย สพฐ.2557)

[math ninja]

ให้ $a , b , c , d$ เป็นจำนวนที่สอดคล้องกับ
$$a+b+c+d=2$$
$$a^2+b^2+c^2+d^2=2$$
$$a^3+b^3+c^3+d^3=-4$$
$$a^4+b^4+c^4+d^4=-6$$
จงหาค่า $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014}$

[นกกะเต็นปักหลัก]

ได้ {a,b,c,d}={1,-1,1+i,1-i}

[pont494]

อยากทราบวิธีคิดด้วยอ่ะครับ

[polsk133]

ใช้พหุนามครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math ninja

ให้ $a , b , c , d$ เป็นจำนวนที่สอดคล้องกับ
$$a+b+c+d=2$$
$$a^2+b^2+c^2+d^2=2$$
$$a^3+b^3+c^3+d^3=-4$$
$$a^4+b^4+c^4+d^4=-6$$
จงหาค่า $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014}$

กดเพื่อแอบดูเฉลย

จะได้ $ab+ac+ad+bc+bd+cd = \frac{1}{2}[(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)] = 1$

ให้ $a, b, c, d$ เป็นรากของพหุนามกำลังสี่ $P(x) = 0$

จะได้ $P(x) = x^4 - 2x^3+x^2-mx + n$

ให้ $s_n = a^n+b^n+c^n+d^n$

จะได้ $s_0 = 4, s_1 = 2, s_2= 2, s_3=-4, s_4 = -6$

และ $s_n = 2s_{n-1} - s_{n-2} + ms_{n-3} - ns_{n-4}$

จาก $s_3 = -4 = 2s_2 - s_1 + ms_0 - ns_{-1} \Rightarrow -4 = 4-2+4m-n(m/n) \Rightarrow m = -2$

จาก $s_4 = -6 = 2s_3 - s_2 + ms_1 -ns_0 \Rightarrow -6 = -8-2-4-4n \Rightarrow n = -2$

ดังนั้น $P(x) = x^4-2x^3+x^2+2x-2 = [(x-1)^2+1](x^2-1) $

จึงได้คำตอบของสมการ $P(x) = $0 คือ $(a, b, c, d) = (-1, 1, 1-i, 1+i)$ และวนลูป...

แล้ว $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014} = 1+1 = 2$