โจทย์ log จาก AVISO

[กิตติ]

ขอบคุณครับพี่เล็กที่เสนอมุมมองที่น่าสนใจ แต่ในมุมมองของผม ผมทำให้ค่า$log$ให้ฐานเท่ากันหมดคือ $2$ และเป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้นจริงๆจาก
$(\log_2x)(\log_2{(x+\frac{1}{2})})(\log_2{(2x+1)})\leqslant 0$
ผมเลยมองแยกเป็นเทอมๆแบบเดียวกับที่เราทำเวลาแก้อสมการ หาจัดที่ทำให้ค่าเป็นศูนย์แล้วนำมาลงแต่ละเทอม

ในตัวอย่างที่พี่เล็กถามว่าผมคงใช้หลักการของอสมการที่เรียนกัน
1. $(x-1)(y-2)<0$
ก็แยกเป็นกรณี คือ
1.1 $x<1$ และ $y>2$
กับ1.2 $x>1$ และ $y<2$
ก็แล้วแต่ว่า $x,y$ สัมพันธ์กันยังไง เป็นตัวแปรที่อิสระต่อกัน ผมก็ตอบตามข้างต้น แต่ถ้าเป็นตัวแปรตามกันอย่างเช่นรู้ว่า$ y=2^x$ ก็นำไปแทนหาขอบเขตของค่า $x$อีกที

2.$(log_\frac{1}{2} x)(log_3(x+1))<0$
แปลงมาเป็น $(log_2 x)(log_3(x+1))>0$
ที่แปลงเพราะว่าถ้าฐานไม่ใช่จำนวนเต็มเหมือนกัน ฟังก์ชั่นมันจะสวนทางกัน ในระหว่างที่ค่า$x$ เพิ่มขึ้น
$log_\frac{1}{2} x$จะเป็นฟังก์ชั่นลดลง ขณะที่ $log_3(x+1)$จะเิ่พิ่มขึ้นเรื่อยๆ ผมเลยแปลงให้ฐานมันเป็นจำนวนเต็มก่อน
อันนี้ผมไม่แน่ใจว่าผมจะมองถูกไหม...เห็นแน่คือ $x>0$
ผมมองทีละเทอม
$log_2 x=0$....จุดตัดบนเส้นจำนวนคือ $x=1$
$log_3(x+1)=0$...จุดตัดบนเส้นจำนวนคือ $x=0$
พล็อตลงแล้วได้คำตอบว่า$x>1$

เมื่อกี้เห็นพี่เล็กเอาเวปที่แก้โจทย์ผ่านโปรแกรมมาก็เลยลองป้อนลงไปบ้าง ยังไม่เคยใช้สักที โจทย์สมการlogข้อสี่

ถ้ามีอะไรที่ผมเข้าใจผิด ก็ช่วยบอกผมด้วยครับ ยินดีรับฟังคำสอนจากทุกท่าน มิต้องเกรงใจครับ แต่ผมจะเข้าใจได้มากได้น้อยเท่าไหร่ก็ตามสภาพสมองที่หลงเหลือตามวัยครับ

[lek2554]

ผมกำลังคิดว่าจะใช้หลักการนี้ได้กับทุกสมการหรือไม่ครับ เช่น

$(2^x-4)(logx+3)>0$ (คำตอบ http://www.wolframalpha.com/input/?i...g-_*Log10.Log-)

$(cosx-\frac{1}{2} )(sinx+\frac{\sqrt{3} }{2}) <0 ,0<x<2\pi $ (คำตอบ http://www.wolframalpha.com/input/?i...2C00%3Cx%3C2pi)

[หยินหยาง]

#17
ลองดูประพจน์ข้างล่างดูครับเผื่อช่วยได้
$ab> 0\leftrightarrow (a\wedge b>0)\vee (a\wedge b<0)$

$ab< 0\leftrightarrow (a>0 \wedge b<0)\vee (a <0\wedge b>0)$

[กิตติ]

เห็นซือแป๋เข้ามาแล้ว อุ่นใจขึ้นเยอะ เพราะผมชักไม่แน่ใจว่าทำถูกไหม
จำได้อาจารย์ที่สอนสมัยนั้น(อ.อำนวย)บอกให้จำหลักการอสมการอย่างที่ซือแป๋หยินหยางบอกไว้ เป็นการแก้อสมการธรรมดา ไม่มีลูกพ่วง
พอเจอลูกพ่วงแล้วผมเลยไม่กล้าตอบ...
ตัวอย่างใหม่ที่พี่เล็กลองยก ผมก็ทำตามวิธีข้างต้นแล้ว ทำได้ข้อแรกข้อเดียว ได้ตรงกับที่โปรแกรมเฉลยไว้
ข้อสองยังงงอยู่ เดี๋ยวคงต้องค่อยๆไล่ทำ
อยากถามซือแป๋หยินหยางว่า การหยิบประพจน์ตามที่แสดงไว้ มันมีข้อระวังอะไรหรือเปล่า

[lek2554]

ปกติเจออสมการแบบนี้ ผมต้องคิดตามที่ท่านซือแป๋แนะนำครับ

แต่เห็นวิธีของคุณหมอ ไวดีเลยมาติดต่อยอด

ขอบคุณท่านซือแป๋ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

การหยิบประพจน์ตามที่แสดงไว้ มันมีข้อระวังอะไรหรือเปล่า

มีครับ คือเพียงแค่ระวังอย่าให้ หยิบตกๆ หล่นๆ แค่นั้นเองครับ
คือถ้าหยิบไปทั้งหมดก็ไม่มีปัญหาครับ

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับซือแป๋...ผมได้ความเข้าใจอย่างถูกต้องแล้วครับ
ขอบคุณครับพี่เล็กที่ช่วยตรวจทานให้ครับ ผมก็ยังคงจะทำอะไรเปิ่นๆต่อไปตามความรู้ที่หลงเหลือ
หวังว่าซือแป๋กับพี่ๆน้องๆทั้งหลายจะเมตตาชี้แนะ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

8. จงแก้ระบบสมการ $z^x = y^{2x} , 2^z = 2*4^x , x+y+z = 16$

ขอแจมด้วยสักข้อ แต่ไม่ทำแบบร็อคๆนะครับ ทำไม่เป็น (นึกว่าเป็นอีกมุมมอง ไม่ว่ากันนะครับ)

$ 2^z = 2*4^x = 2^{2x+1} \to z = 2x+1$ ....(*)

$z^x = y^{2x} = (y^2)^x \to z = y^2$ ......(**)

$x+y+z = 16$

$x+\sqrt{z} +z = 16$

$x+\sqrt{2x+1} +(2x+1) = 16$

$9x^2 -92x +224 = 0$

$x = 4 \ \ $(มี x อีก 1 ค่า แต่แทนค่าแล้วไม่เป็นจริง)

$z = 2(4)+1 = 9$

$y^2 = z = 9 \to y =3 $

ตอบ $ \ x= 4, \ y =3, \ z =9$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

6. จงหาเซตคำตอบของสมการ $\sqrt[3]{2-\log x} +\sqrt[3]{1-2\log x} +\sqrt[3]{6+3\log x}=0$

จาก$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(abc)(a+b+c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} )-3abc$
ถ้า$a+b+c=0$ จะเหลือแค่ $a^3+b^3+c^3=3abc$
ให้$a=\sqrt[3]{2-\log x}$
$b=\sqrt[3]{1-2\log x}$
$c=\sqrt[3]{6+3\log x}$

$(\sqrt[3]{2-\log x})^3 +(\sqrt[3]{1-2\log x})^3 +(\sqrt[3]{6+3\log x})^3=3\left(\,\sqrt[3]{(2-\log x)(1-2\log x)(6+3\log x)}\right) $

$3=\left(\,\sqrt[3]{(2-\log x)(1-2\log x)(6+3\log x)}\right)$

$27=(2-\log x)(1-2\log x)(6+3\log x)$

$9=(2-\log x)(1-2\log x)(2+\log x)$

ให้$\log x=S$

$9=(2-S)(1-2S)(2+S)$
$9=(4-S^2)(1-2S)$
$9=4-8S-S^2+2S^3$
$2S^3-S^2-8S-5=0$
$(S+1)^2(2S-5)=0$
$S=\frac{5}{2},-1 $
เมื่อลองแทนค่า$S$ ที่ได้ในสมการแรกสุดแล้ว ค่าที่ใช้ได้คือ $S=\frac{5}{2}$

$x=100\sqrt{10} $

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$z^x = y^{2x} = (y^2)^x \to z = y^2$ ......(**)

$a^x=b^x$ สรุปว่า $a=b$ เพียงอย่างเดียวไม่ได้ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$a^x=b^x$ สรุปว่า $a=b$ เพียงอย่างเดียวไม่ได้ครับ

ขอบคุณครับ

แล้วสรุปอย่างอื่น คืออะไรครับ


แต่เท่าที่ผมมองเห็นก็คือ ถ้าเลขชี้กำลังเป็นตัวแปร $a^x=b^x$ ก่อนจะสรุปว่า $a=b$ คงต้องกำหนดก่อนว่า $x \not= 0$

[lek2554]

#26

$x=0$ ก็ได้ครับ ลุง banker หรือถ้า $x$ เป็นจำนวนเต๊มคู่ $a=-b$ ก็ได้ครับ

และ $y^2=z$ จะได้ $y=\pm \sqrt{z} $

ข้อนี้ถ้าไม่ใช้ $log$ คงต้องแยกพิจารณาหลายกรณีครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

#26

$x=0$ ก็ได้ครับ ลุง banker หรือถ้า $x$ เป็นจำนวนเต๊มคู่ $a=-b$ ก็ได้ครับ

และ $y^2=z$ จะได้ $y=\pm \sqrt{z} $

ข้อนี้ถ้าไม่ใช้ $log$ คงต้องแยกพิจารณาหลายกรณีครับ

ขอบคุณครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

8. จงแก้ระบบสมการ $z^x = y^{2x} , 2^z = 2*4^x , x+y+z = 16$

$2^z = 2*4^x=2^{2x+1}\rightarrow z=2x+1$ ...............(1)

$x+y+z = 16\rightarrow x+y+2x+1=16\rightarrow y=15-3x$ .................(2)

$z^x = y^{2x}$

$(2x+1)^x=(15-3x)^{2x}$

$log(2x+1)^x=log(15-3x)^{2x}$

$xlog(2x+1)=xlog(15-3x)^2$

$x=0$ หรือ $log(2x+1)=log(15-3x)^2$

$x=0$ หรือ $2x+1=(15-3x)^2$

$x=0,4,\dfrac{56}{9} $ แทนค่าใน (1) , (2) จะได้

$(x,y,z)=(0,15,1) , (4,3,9) , (\frac{56}{9} ,-\frac{11}{3},\frac{121}{9})$

ตรวจสอบคำตอบกับสมการ $z^x=y^{2x}$

$(0,15,1)\rightarrow 1^0=15^0$ จริง

$(4,3,9)\rightarrow 9^4=3^8$ จริง

$(\frac{56}{9} ,-\frac{11}{3},\frac{121}{9})\rightarrow \left(\frac{121}{9}\right)^ \frac{56}{9}=\left(-\frac{11}{3}\right) ^\frac{112}{9}$ รบกวนช่วยดูคำตอบนี้หน่อยครับ จริงหรือเปล่าครับ ทำไม WolframAlpha ถึงบอกว่าใช้ไม่ได้ $http://www.wolframalpha.com/input/?i...3x%29^%282x%29

หรือต้องอ้างนิยามของฟังก์ชัน Exponential $y=a^x,a>0,a\not= 1$ ครับ

[Amankris]

#29

$(-1)^{\frac{4}{9}}=e^{\frac{4i\pi}{9}}\not=1$