โจทย์จาก AVISO I

[-InnoXenT-]

เท่าที่ผมลองทำดู บางข้อ ผมทำไม่ได้อ่ะ

1. กำหนด $x,y \in \mathbb{R}$ ซึ่ง $\left|x\right| \not= \pi $ และ $\left|y\right| \not= \pi $
และ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{\pi} = \frac{1}{x+y+\pi}$ ถ้า $x<3$ แล้วค่า $y$ อยู่ในช่วงใด

2. ให้ $log2 = 0.3010$ ถ้า $2^{54} = a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1} + ... + a_110 + a_0$ เมื่อ $1 \leqslant a_n \leqslant 9$ ทุกๆค่า $n$ จงหา $a_n + a_0$

3. ให้ $a,b \in \mathbb{R} $ ซึ่ง $ab = 10$ จงหา $x+y$ ในเทอมของ $a,b$ เมื่อกำหนดระบบสมการดังนี้
$a^xb^{y+1} = a$
$a^{y+2}b^{x-1} = b$

4. กำหนด $A,B,C$ เป็นมุมภายในสามเหลี่ยม $ABC$ จงหาขอบเขตบนค่าน้อยที่สุดของ $sinA+sinB+sinC$

5. ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ถ้าอัตราส่วน $cosA : cosB : cosC = 2 : 9 : 12$ จงหา $sinA : sinB : sinC$

6. กำหนดให้ $csc^2(A+B) - sin^2(A+B) + sin^2(2A-B) = cos^2(B-A)$ โดยที่ $A,B \in (0,\frac{\pi}{2})$ จงหาค่าของ $sin(A-B)$

7. จงหาจำนวนเชิงซ้อน $x+iy$ ทั้งหมดที่ $x$ และ$y$ สอดคล้องกับสมการ $log_2(2^yx) -3i = 2 + ilog_2(x^y)$

เท่าที่ทำมา (ยังทำไม่หมด) มีขนาดนี้เลยอ่ะ

ปล. อยากได้ AVISO II มาก มันออกยังอ่าาา

[KizPer]

ข้อ 2 ตอบ 5 $a_n$= 1ได้ $a_0$= 4
ข้อ 3 ตอบ log b - log a

[cZech_kUnG]

ขอข้อ 7 ละกันครับ

solution

$log_2(2^yx)-log_22^{3i}=log_22^2+log_2(x^y)^i$

$log_2\frac{2^yx}{2^3i} = log_2(2^2)(x^y)^i$

$2^{y-3i-2} = x^{yi-1}$

$Let x = 2^k , k \in R$

$2^{y-3i-2} = 2^{kyi-k}$

$y+k-2-(ky+3)i = 0 = z$

$\therefore Re(z) = 0 \quad and \quad Im(z) = 0$

$y = 2-k \quad and \quad 2k-k^2+3 = 0 $

$k = 3 , -1 $

$\therefore x+yi = 8-i , \frac{1}{2}+3i $

ปล ผมไม่แน่ใจว่าทำแบบนี้คำตอบจะหายปะครับ เชคให้ทีนะครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

ปล. อยากได้ AVISO II มาก มันออกยังอ่าาา

ผมก็อยากให้เต็มที่ถ้ามันเสร็จแล้ว

[-InnoXenT-]

มาเพิ่มให้อีก 2 ข้อครับ

1. ในรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ ที่มี $\hat B = \hat C = 120^{\circ} $ มี $AB ,BC$ และ $CD$ ยาว $3,4,5$ หน่วย ตามลำดับ จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม$ABCD$

2. จงหาคำตอบของสมการ $sin(\frac{4\pi}{7}-3x) + sin(\frac{3\pi}{7}+2x) + sinx = 0$

3. รูปสามเหลี่ยม $ABC$ มีจุด $D$ และจุด $E$ เป็นจุดแบ่งด้าน $BC$ และ$AC$ ตามลำดับ ถ้า $\frac{BD}{DC} = 3$ และ $\frac{AE}{EC} = \frac{3}{2}$ และ $P$เป็นจุดที่ $AD$ ตัดกับ $BE$ จงหา $BP : PE$

4. กำหนดใหด $2sinxcosy = cos^2x - cos^2y$ และ $2cosxsiny = \frac{3}{2}$ โดยที่ $0\leqslant x \leqslant \pi$ และ $0\leqslant y \leqslant \pi$ จงหา $x-y$

[KizPer]

ข้อ 4
จาก $2sinxcosy = sin(x+y) + sin(x-y)$ และ $2sinycosx = sin(x+y) - sin(x-y)$
เราจะได้ $sin(x+y) + sin(x-y) = cos^2x-cos^2y$ .........................เป็นสมการที่ 1
$sin(x+y) - sin(x-y) = \frac{3}{2}$ .............................เป็นสมการที่ 2
นำสมการที่ 1 และ 2 ยกกำลังสอง แล้วนำมาลบกัน
จะได้ว่า $4sin(x+y)sin(x-y) = [(cosx - cosy)(cos x + cos y)]^2 - \frac{9}{4}$
แก้สมการ แล้วให้่ $a = sin(x+y)sin(x-y)$
จะได้ว่า $ 4a = a^2 - \frac{9}{4}$
แก้สมการได้ $a = -\frac{1}{2}$ และ $\frac{9}{2}$ แต่เราใช้แค่ $- \frac{1}{2}$

นำสมการที่ 2 มายกกำลังสอง แล้วแก้สมการจาก a ที่หามาได้
จะได้ $sin(x+y) + sin(x-y) = \frac{1}{2}$ เป็นสมการที่ 3

นำสมการที่ 3 ลบออกจากสมการที่ 1 จะได้ sin(x-y) = -\frac{1}{2}$ เป็นคำตอบ

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ KizPer

ข้อ 4
จาก $2sinxcosy = sin(x+y) + sin(x-y)$ และ $2sinycosx = sin(x+y) - sin(x-y)$
เราจะได้ $sin(x+y) + sin(x-y) = cos^2x-cos^2y$ .........................เป็นสมการที่ 1
$sin(x+y) - sin(x-y) = \frac{3}{2}$ .............................เป็นสมการที่ 2
นำสมการที่ 1 และ 2 ยกกำลังสอง แล้วนำมาลบกัน
จะได้ว่า $4sin(x+y)sin(x-y) = [(cosx - cosy)(cos x + cos y)]^2 - \frac{9}{4}$
แก้สมการ แล้วให้่ $a = sin(x+y)sin(x-y)$
จะได้ว่า $ 4a = a^2 - \frac{9}{4}$
แก้สมการได้ $a = -\frac{1}{2}$ และ $\frac{9}{2}$ แต่เราใช้แค่ $- \frac{1}{2}$

นำสมการที่ 2 มายกกำลังสอง แล้วแก้สมการจาก a ที่หามาได้
จะได้ $sin(x+y) + sin(x-y) = - \frac{1}{2}$ เป็นสมการที่ 3

นำสมการที่ 3 ลบออกจากสมการที่ 1 จะได้ sin(x-y) = -2 เป็นคำตอบ

ช่วยเชคด้วยครับเผื่อผมคิดเลขผิด

ข้อนี้ ผมเพิ่งคิดได้เมื่อคืน ตอนตีสาม ครับ ขอโทษที

$x-y = -\frac{\pi}{6}$

แล้วก็ ค่า $-1 \leqslant sin\theta \leqslant 1$ ไม่ใช่เหรอครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

มาเพิ่มให้อีก 2 ข้อครับ

1. ในรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ ที่มี $\hat B = \hat C = 120^{\circ} $ มี $AB ,BC$ และ $CD$ ยาว $3,4,5$ หน่วย ตามลำดับ จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม$ABCD$

2. จงหาคำตอบของสมการ $sin(\frac{4\pi}{7}-3x) + sin(\frac{3\pi}{7}+2x) + sinx = 0$

3. รูปสามเหลี่ยม $ABC$ มีจุด $D$ และจุด $E$ เป็นจุดแบ่งด้าน $BC$ และ$AC$ ตามลำดับ ถ้า $\frac{BD}{DC} = 3$ และ $\frac{AE}{EC} = \frac{3}{2}$ และ $P$เป็นจุดที่ $AD$ ตัดกับ $BE$ จงหา $BP : PE$

4. กำหนดใหด $2sinxcosy = cos^2x - cos^2y$ และ $2cosxsiny = \frac{3}{2}$ โดยที่ $0\leqslant x \leqslant \pi$ และ $0\leqslant y \leqslant \pi$ จงหา $x-y$

ในหนังสือมีเฉลยแล้วนี่ครับ หรือว่ามีบางข้อคิดแล้วไม่ตรง เช่น
ข้อ2. จงหาคำตอบของสมการ $sin(\frac{4\pi}{7}-3x) + sin(\frac{3\pi}{7}+2x) + sinx = 0$
ในหนังสือเฉลย $-\frac{\pi}{7}$ แต่ยังหาคำตอบอื่นได้อีกคือ $\frac{2\pi}{7}$ หรืออาจหาคำตอบที่เขียนอยู่ในรูปทั่วไป
$2n\pi-\frac{\pi}{7},2n\pi+\frac{2\pi}{7} $

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ในหนังสือมีเฉลยแล้วนี่ครับ หรือว่ามีบางข้อคิดแล้วไม่ตรง เช่น
ข้อ2. จงหาคำตอบของสมการ $sin(\frac{4\pi}{7}-3x) + sin(\frac{3\pi}{7}+2x) + sinx = 0$
ในหนังสือเฉลย $-\frac{\pi}{7}$ แต่ยังหาคำตอบอื่นได้อีกคือ $\frac{2\pi}{7}$ หรืออาจหาคำตอบที่เขียนอยู่ในรูปทั่วไป
$2n\pi-\frac{\pi}{7},2n\pi+\frac{2\pi}{7} $

จริงๆแล้ว ในหนังสือมีเฉลยแล้วทุกข้อล่ะครับ

แต่ผมอยากทราบวิธีทำอ่ะ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

จริงๆแล้ว ในหนังสือมีเฉลยแล้วทุกข้อล่ะครับ

แต่ผมอยากทราบวิธีทำอ่ะ

ทุกข้อเลยหรือครับ ผมเป็นคนขี้เกียจพิมพ์ latex ผมขอบอกเป็นแนวคิดก็แล้วกัน ส่วนติดยังไงค่อยว่ากันอีกที หรืออาจมีท่านอื่นมาช่วยแสดงวิธีทำให้ก็ได้
ข้อ 1. ผมใช้การเขียนรูปช่วยโดยหาจุดโค-ออร์ดิเนตของสี่เหลี่ยมแล้วหาพื้นที่
ข้อ 2. สังเกตว่า $(\frac{4\pi}{7}-3x) + (\frac{3\pi}{7}+2x) + x = \pi$
ข้อ 3. ใช้เมเนลอสก็ออกแล้วครับ
ข้อ 4. ไม่ได้คิด เพราะทำได้แล้วนี่ครับ