Bellman-Gronwall Inequality

[M@gpie]

มีอสมการที่เกี่ยวกับ Calculus มานำเสนอครับผม มีชื่อว่าอสมการ Bellman-Gronwall มีเนื้อความว่าดังนี้
Assume $x(t) > 0 $ show that the implicit inequality in $\phi$ \[ \phi (t) \leq \psi (t)+ \int_a^t x(s)\phi (s) ds \]
implies the explicit inequality \[ \phi (t) \leq \psi (t) + \int_a^tx(s)\psi (s)exp \left(\int_s^tx(\tau ) d\tau \right) ds\]

Hint : Let $r(t) = {\displaystyle \int_a^t x(s)\phi (s)ds }$ and show that $\dot{r}(t) -x(t)r(t) \leq x(t)\psi (t)$

[Punk]

Let $f$ solve the equation $f(t)=\psi(t)+\int_a^tx(s)f(s)\,ds$. One can compute the solution, by differentiating the integral equation, to get $f(t)=\frac{1}{\gamma(t)}\Big(\int_a^t\psi'(s)\gamma(s)\,ds+\psi(a)\Big)$, where $\gamma(t)=\exp(-\int_a^tx(s)\,ds)$. This solution is valid whenever $\psi$ is differentiable. Integrating by parts, however, it follows that
\[
\frac{1}{\gamma(t)}\Big(\int_a^t\psi'(s)\gamma(s)\,ds+\psi(a)\Big)=\psi(t)
+\int_a^t\psi(s)x(s)\exp\Big(\int_s^tx(\tau)\,d\tau\Big).
\]
Thus $f(t)=\psi(t)
+\int_a^t\psi(s)x(s)\exp(\int_s^tx(\tau)\,d\tau)$ is the solution for arbitrary $\psi$.

Now we have $\phi(t)\leq\psi(t)+\int_a^tx(s)\phi(s)\,ds$ and $f(t)=\psi(t)+\int_a^tx(s)f(s)\,ds$. Setting $u(t)=\int_a^tx(s)(\phi(s)-f(s))\,ds$, we see that
\[
u(a)=0,\qquad u'(t)\leq x(t)u(t).
\]
In view of problem 75 in Calculus Marathons (2), we obtain $u(t)\leq0$ for all $t\geq a$. Thus $\phi(t)-f(t)=u'(t)/x(t)\leq0$ as well, therefore $\phi(t)\leq f(t)$. This proves the required estimate.

[M@gpie]

วิธีของ อ. Punk บอกตรงๆว่าไม่เข้าใจครับ แต่ทำให้ผมทราบว่า มีวิธีอื่น อีก สุดยอดครับ

[Punk]

วิธีทำที่แสดงข้างบนผมอธิบายแบบคร่าวๆครับ เพราะอยากให้อ่านแล้วลองคิำดเองในกระดาษทด แต่ไม่เป็นไรครับผมจะอธิบายแบบละเิอียดในแต่ละจุดที่สำคัญๆ ดังนี้ครับ

1. แก้ Integral equation: $f(t)=\psi(t)+\int_a^tx(s)f(s)\,ds$.
ตอนแรกสมมติว่า $\psi$ หาอนุพันธ์ไ้ด้ จากสมการหาอนุพันธ์จะได้สมการที่สมมูลคือ
\[
f'(t)=\psi'(t)+x(t)f(t)
\]
ตรงนี้ผมใช้ทฤษฎ๊บทหลักมูลในแคลคูลัส คูณตลอดด้วย $\gamma(t):=\exp(-\int_a^tx(s)\,ds)$ พร้อมกับจัดเทอมได้
\[
(f(t)\gamma(t))'=\psi'(t)\gamma(t)
\]
ซึ่งจากตรงนี้เราได้ทันทีว่า $f(t)\gamma(t)=\int_a^t\psi'(s)\gamma(s)\,ds+f(a)\gamma(a)$ กล่่าวคือ $f(t)=\frac{1}{\gamma(t)}\Big(\int_a^t\psi'(s)\gamma(s)\,ds+\psi(a)\Big)$

2. สูตร $f(t)$ ข้างบนเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของ $\psi$ ซึ่งขจัดออกได้โดยใช้เทคนิค integration by parts ดังนี้
\[
\int_a^t\psi'(s)\gamma(s)\,ds
=\psi(s)\gamma(s)\Big|_{s=a}^{s=t}-\int_a^t\psi(s)\gamma'(s)\,ds
=\psi(t)\gamma(t)-\psi(a)\gamma(a)+\int_a^t\psi(s)x(s)\gamma(s)\,ds
\]
เมื่อแทนในสูตรเดิมของ $f(t)$ จะได้
\[
f(t)=\frac{1}{\gamma(t)}\Big(\psi(t)\gamma(t)+\int_a^t\psi(s)x(s)\gamma(s)\,ds\Big)
=\gamma(t)+\int_a^t\psi(s)x(s)\frac{\gamma(s)}{\gamma(t)}\,ds
\]
จากนั้นสังเกตุว่า $\gamma(s)/\gamma(t)=\exp(\int_a^tx(\tau)\,d\tau-\int_a^sx(\tau)\,d\tau)=
\exp(\int_s^tx(\tau)\,d\tau)$ ก็จะได้สูตรของ $f$ ที่ไม่ขึ้นกับอนุพันธ์ของ $\psi$ คือ
\[
f(t)=\psi(t)+\int_a^t\psi(s)x(s)\exp\Big(\int_s^tx(\tau)\,d\tau\Big)
\]
3. กลับมาที่ปัญหาเรื่มต้นครับ เงื่อนไขของฟังก์ชัน $\phi$ คือสมการ $\phi(t)\leq\psi(t)+\int_a^tx(s)\phi(s)\,ds$ เนื่องจาก $f(t)=\psi(t)+\int_a^tx(s)f(s)\,ds$ เมื่อจับสองสมการลบกันจะได้
\[
\phi(t)-f(t)\leq\int_a^tx(s)\big(\phi(s)-f(s)\big)\,ds
\]
ให้ $u(t)=\int_a^tx(s)\big(\phi(s)-f(s)\big)\,ds$ (เทอมขวามือของสมการข้างบน) โดยทบหลักมูลในแคลคูลัสเราได้ว่า $u'(t)=x(t)\big(\phi(t)-f(t)\big)$ นั่นคือ $\phi(t)-f(t)=u'(t)/x(t)$ เพราะฉะนั้น
\[
\frac{u'(t)}{x(t)}\leq u(t)\Longrightarrow u'(t)\leq x(t)u(t)\qquad(\because x(t)>0)
\]
เห็นชัดว่า $u(a)=0$

4. จาก $u'(t)\leq x(t)u(t)$, $u(a)=0$, $x(t)>0$ และ ปัญหาที่ 75 ใน Calculus Marathon (2) เราได้ว่า $u(t)\leq0$ ทุก $t\geq a$ ดังนั้น $u'(t)\leq x(t)u(t)\leq0$ ด้วย แต่ $u'(t)=x(t)\big(\phi(t)-f(t)\big)$ เพราะฉะนั้น $\phi(t)\leq f(t)$ เมื่อ $t\geq a$ นั่นคือ
\[
\phi(t)\leq\psi(t)+\int_a^t\psi(s)x(s)\exp\Big(\int_s^tx(\tau)\,d\tau\Big)\,ds
\]
ตามต้องการครับ

หมายเหตุ หัวใจสำคัญของ Gronwall-type inequality รวมถึงคำถามข้อนี้ด้วย คือ ปัญหาที่ 75 ใน Calculus Marathon (2) ครับ ที่เหลือคือแก้สมการ ODE และใช้ทบหลักมูลในแคลคูลัส