คำถามสำหรับ Mathcenter Contest Round 0

[nongtum]

คำถามสำหรับ Mathcenter Contest Round 0

ขอยกรายละเอียดมาอีกรอบเพื่อความสะดวก โปรดสังเกตรายละเอียดการตอบคำถามเพิ่มเติมด้วยนะครับ

การส่งคำตอบ

ในรอบนี้ เปิดให้สมาชิกทุกท่านที่สนใจ โดยไม่จำกัดระดับชั้นหรืออายุ ยกเว้นผู้ดูแลทุกระดับ เข้าร่วมแข่งขันได้ครับ

เมื่อสมาชิกท่านใดต้องการส่งคำตอบ (จะตอบกี่ข้อก็ได้ ยกเว้นข้อที่ตนเองเป็นผู้เสนอ) ก็มาตั้งหัวข้อของตนเองในห้องส่งคำตอบเพียงห้องเดียว โดยชื่อหัวข้อต้องมีรูปแบบเป็น

"คำตอบสำหรับ Mathcenter Contest Round 0"

จากนั้นภายในหัวข้อนั้นก็ใส่คำตอบพร้อมวิธีทำโดยละเอียดลงไป ของทุกข้อใน Contest นั้น (ห้ามตั้งเป็นหัวข้อใหม่เด็ดขาด)
มีคำตอบใหม่มาเพิ่มก็ตอบต่อท้ายหัวข้อของตนเองได้เลย

การส่งคำตอบ ให้ โพสต์ 1 ข้อต่อหนึ่งความคิดเห็น
หากข้อเดียวสามารถแสดงแนวคิดได้มากกว่าหนึ่งแนวคิด ให้แสดงอีกแนวคิดในความคิดเห็นเดียวกัน (ได้คะแนน SP เพิ่ม)
โพสต์เป็น TeX หรือไฟล์ภาพหากไม่สะดวกจะพิมพ์ ลงก่อนลงหลังไม่สำคัญ จะใช้การซ่อนข้อความหรือไม่ก็ได้

เวลาในการตอบคำถาม :
0:15 น. ของวันพฤหัสที่ 24 เมษายน 2551 ถึงเวลา 23:50 น. ของวันพฤหัสที่ 1 พฤษภาคม 2551

มั่นใจข้อไหน อยากส่งก่อน ให้ pm บอกผู้ดูแลคนใดคนหนึ่ง พร้อมแจ้งข้อที่ต้องการให้ตรวจคำตอบ
หรือพิมพ์คำว่า ส่งคำตอบ ที่บรรทัดแรกหน้าเลขข้อของคำตอบที่ต้องการส่ง
เมื่อข้อใดตรวจและให้คะแนนแล้ว จะไม่สามารถแก้ไขอะไรได้อีก ดังนั้นขอให้ส่งเมื่อมั่นใจจริงๆเท่านั้น
ส่งข้อใดช้ากว่ากำหนด ข้อนั้นจะไม่ได้คะแนน

โจทย์ปัญหาสำหรับแข่งขัน Mathcenter Contest Round 0

คำชี้แจง : โปรดแสดงวิธีทำโดยละเอียด
หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับโจทย์ สามารถสอบถามในกระทู้นี้ได้จนถึงวันศุกร์ที่ 25 เมษายน 2551 เวลา 0:15 เท่านั้น

1. (4 คะแนน) ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงหาจำนวนสับเซต $A\subset\{ 1,2,\dots,2n \}$ ที่ไม่มีสมาชิกสองตัว $x,y$ ใดใน $A$ ที่ทำให้ $x+y=2n+1$

(เสนอโดยคุณ nongtum)

2. (5 คะแนน) กำหนด $f:\mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\rightarrow \mathbb{R}$ นิยามโดย $f(x)=(x+1)x^{(x-1)^{-1}}$
จงหาค่าของ $f(2008)f(\displaystyle{\frac{1}{2551}})-f(2551)f(\displaystyle{\frac{1}{2008}})$

(เสนอโดยคุณ Mathophile)

3. (5 คะแนน) จงหาผลบวกของจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดซึ่งมีสมบัติต่อไปนี้
(i) $100 \leq n \leq 400$
(ii) $n$ กับ $2551n$ มีสามหลักสุดท้ายเหมือนกัน
(iii) $n$ มีตัวประกอบบวกทั้งหมด $12$ จำนวน

(เสนอโดยคุณ หยินหยาง)

4. (5 คะแนน) จงพิสูจน์ว่า $$\tan\,50^{\circ}\,\tan\,60^{\circ}\,\tan\,70^{\circ} = \tan\,80^{\circ}$$
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)

5. (6 คะแนน) รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นรอบรูปยาว $2s$ ให้ $R,r,S$ เป็นรัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ รัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$ และพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ และผลบวกของส่วนกลับของความยาวด้านแต่ละด้านมีค่าไม่เกิน $1$ (นั่นคือ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1$)
จงพิสูจน์ว่า $$Rr>\ (\frac{3}{2s})^3\sqrt{2S^3}$$
(เสนอโดยคุณ owlpenguin)

6. (6 คะแนน) ให้ $a,$ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ จงพิสูจน์ว่า $$\frac {a}{a^3 + b^2 + c + 3} + \frac {b}{b^3 + c^2 + a + 3} + \frac {c}{c^3 + a^2 + b + 3}\leq\frac {1}{2}$$
(เสนอโดยคุณ dektep)

ใครที่โจทย์ไม่ได้ลงในครั้งนี้ไม่ต้องเสียใจนะครับ เรายังมีการแข่งครั้งหน้าเร็วๆนี้นะครับ พร้อมมีการปรับกติกาบางประการด้วยนะ

ขอให้ทุกท่านโชคดี และสนุกกับการทำโจทย์ Mathcenter Contest Round 0 ครับ

[dektep]

ข้อ 1. นับเซตว่างไหมครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ข้อ 1. นับเซตว่างไหมครับ

นับครับ แต่ถ้าใช้กฎการนับถูกก็ไม่จำเป็นต้องคิดถึงตรงนี้ก็ได้นะ เพราะมันอยู่ในนั้นแล้ว

[gnopy]

แล้วคนที่มีสิทธิตอบก็คือคนที่ส่งคำถามพร้อมคำตอบไปใช่หรือไม่ หรือแค่คนที่คำถามของตัวเองผ่านการคัดเลือกครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

แล้วคนที่มีสิทธิตอบก็คือคนที่ส่งคำถามพร้อมคำตอบไปใช่หรือไม่ หรือแค่คนที่คำถามของตัวเองผ่านการคัดเลือกครับ

รอบนี้ใครจะตอบก็ได้ถ้าไม่ใช่ผู้ดูแล ไม่ว่าจะได้ส่งคำถามมาหรือไำม่ และตอบคำถามได้ทุกข้อที่ตัวเองไม่ได้เป็นคนเสนอครับ

ปล. มีการแก้ไขโจทย์ข้อ 2 เล็กน้อยดังนี้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

พอดีเพิ่งเห็นข้อผิดพลาดของโจทย์ของผมน่ะครับ (ข้อ 2) ตรงโดเมนของฟังก์ชันน่ะครับ จริงๆข้อผิดพลาดนี่มันก็ไม่มีผลต่อวิธีทำหรอกครับ แต่เพื่อความสมบูรณ์ของโจทย์ รบกวนเปลี่ยนตรงนี้ให้นิดนึงนะครับ

จาก $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$

แก้เป็น $f:\mathbb{R}^{+}-\{1\}\rightarrow \mathbb{R}$ ครับ
(คือโดเมนไม่รวม 1 อ่ะครับ ไม่แน่ใจว่าใช้เครื่องหมายลบ หรือเครื่องหมายทับ)

รบกวนด้วยนะครับ และขอโทษสำหรับข้อผิดพลาดครับ

[Mathophile]

ข้อ 3. รวมกรณี $n$ เป็นเลขสองหลักด้วยหรือเปล่าครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

ข้อ 3. รวมกรณี $n$ เป็นเลขสองหลักด้วยหรือเปล่าครับ

ถ้ามีและสอดคล้องเงื่อนไขก็ให้รวมด้วยครับ

[nongtum]

มีคำชี้แจงจากคุณ หยินหยางเกีี่่ยวกับข้อ 3 ครับ (ขออนุญาตแก้ไขข้อความเล้กน้อยเพื่อความเหมาะสม)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

จากที่คุณMathophile ถาม ผมไม่ทราบว่าตอบได้หรือไม่ จึงขอตอบผ่านทางคุณ nongtum ว่า ไม่รวมเลขสองหลักเพราะผมกำหนดไว้ในโจทย์ให้เป็นเลขสามหลักสุดท้าย
ตอนแรกโจทย์ที่ตั้งผมจะพิมพ์เป็น $100 \leq n \leq 400$ แทนที่ จะเป็น $1 \leq n \leq 400$ แต่เห็นว่าในเงื่อนไขข้อที่ 2 ได้กำหนดไว้เป็นเลขสามหลักน่าจะชัดเจนพอ ตอนแรกก็กลัวว่าจะสับสนเหมือนกัน เพราะจะมี n = 0xx เป็นอีกหนึ่งคำตอบ
ซึ่งเมื่อ 2551*0xx = ...... อาจมองได้ว่า n คือ 0xx ไปคูณกับ 2551 แล้วลงท้ายด้วย 0xx แต่ผมมองว่า 0xx คือเลขสองหลัก เนื่องจาก n เป็นจำนวนนับในช่วง ของ $1 \leq n \leq 400$

เอาเป็นว่าข้อนี้ผมแก้เงื่อนไขโจทย์ให้เป็น $100 \leq n \leq 400$ เพื่อตัดปัญหาละกันนะครับ

ปล. ใครอยากจะชี้แจงเกี่ยวกับโจทย์ของตนเอง สามารถทำได้ผ่านกระทู้นี้เลยโดยไม่จำเป็นต้องผ่านผม แต่ทำได้ถึง 0:15 น. ของวันพรุ่งนี้เท่านั้นครับ

[Ipod]

ผมว่าถ้าโจทย์เคลียร์ดีแล้ว ก็ไม่ควรจะมีคำถามนะครับ
แต่ถ้าโจทย์ไม่เคลียร์ งวดหน้าผมว่าควรมีมาตรการที่ทำให้โจทย์เคลียร์มากกว่านี้ เพราะข้อสอบที่ออกมาแล้วไม่เหมาะสมที่จะแก้

หมายเหตุ : ถ้าเป็น IMO ละก็ โจทย์แต่ละข้อจะต้องผ่านการประชุมจะหัวหน้าทีมทั่วโลกเลยทีเดียว

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ipod

ผมว่าถ้าโจทย์เคลียร์ดีแล้ว ก็ไม่ควรจะมีคำถามนะครับ
แต่ถ้าโจทย์ไม่เคลียร์ งวดหน้าผมว่าควรมีมาตรการที่ทำให้โจทย์เคลียร์มากกว่านี้ เพราะข้อสอบที่ออกมาแล้วไม่เหมาะสมที่จะแก้

หมายเหตุ : ถ้าเป็น IMO ละก็ โจทย์แต่ละข้อจะต้องผ่านการประชุมจะหัวหน้าทีมทั่วโลกเลยทีเดียว

ผมถือว่าการเห็นข้อผิดพลาดนี่เป็นจุดหนึ่งที่ผมประสบความสำเร็จในการจัดรอบ 0 ที่เป็นรอบทดลองนะ จัดครั้งหน้าจะได้เผื่อเวลารับและคัดโจทย์อีกหน่อย แหะๆๆ รับและคัดแค่วันกว่าๆกับโจทย์ตั้ง 17 อาจจะหนักเกินไปหน่อยแฮะ

ปล. โจทย์ครั้งนี้เลือกโดยผู้ดูแลสามคนครับ แต่ผมเป็นคนเลือกโจทย์ขั้นสุดท้ายนะั เพราะฉะนั้นถ้าจะผิดก็ผิดที่ผมเต็มๆที่ไม่ได้เช็คโจทย์ให้ดีก่อนลงล่ะนะ...

[owlpenguin]

ขอแก้ข้อ 5 จาก $Rr\geq ...$ เป็น $Rr>...$ ครับ ก็คงต้องขอโทษที่ผมพิมพ์ผิดมา ณ ที่นี้ด้วยครับ

[คusักคณิm]

น่าจะเเบ่งคำถามด้วยอ่ะเช่น ของประถมปลาย ประถมต้น มัธยมปลาย มัธยมต้นอ่ะ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

น่าจะเเบ่งคำถามด้วยอ่ะเช่น ของประถมปลาย ประถมต้น มัธยมปลาย มัธยมต้นอ่ะ

รอบนี้แข่งแต่ระดับมัธยมครับ รอรอบหน้าก่อนนะถึงจะของประถมให้แข่ง