ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ มัธยมปลาย 2552

[HIGG BOZON]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ข้อ 33 $f(x)=1+x+x^2+...+x^{100}$ จงหาค่าของ $f''(1)-f'(1)+f(1)$
จากโจทย์จะได้ว่า $f(1)=\sum_{n = 1}^{100}1$
และ $f'(x)=1+2x+3x^2+...+100x^{99}=\sum_{n = 1}^{100}nx^{n-1}$ นั่นคือ $f'(1)=\sum_{n = 1}^{100}n$ และจะได้ว่า
$f''(x)=\sum_{n = 1}^{99} n(n+1)x^n$ นั่นคือ $f''(1)=\sum_{n = 1}^{99} n(n+1)=\sum_{n = 1}^{99} (n^2+n)$
ดังนั้นค่าของ
$$f''(1)-f'(1)+f(1)=\sum_{n = 1}^{99} (n^2+n)-\sum_{n = 1}^{100}n+\sum_{n = 1}^{100}1=\dfrac{99(100)(199)}{6}+\dfrac{99(100)}{2}-\dfrac{100(101)}{2}+100=328350$$

ข้อนี้ต้องตอบ $328,351$ นะครับ เพราะ $f(1) = 101$ ไม่ใช่ $100$ นะครับ

[SolitudE]

ข้อ 36 ตอบ 9

(เก็บได้ข้อนึง)

Solution : เนื่องจาก $\left\lfloor\,\sqrt{2}\right\rfloor , \left\lfloor\,\sqrt{3}\right\rfloor = 1$

$\left\lfloor\,\sqrt{4}\right\rfloor , \left\lfloor\,\sqrt{5}\right\rfloor , \left\lfloor\,\sqrt{6}\right\rfloor , \left\lfloor\,\sqrt{7}\right\rfloor , \left\lfloor\,\sqrt{8}\right\rfloor = 2$

$\left\lfloor\,\sqrt{9}\right\rfloor , \left\lfloor\,\sqrt{10}\right\rfloor ,..., \left\lfloor\,\sqrt{15}\right\rfloor = 3$
.
.
.
$\left\lfloor\,\sqrt{81}\right\rfloor , \left\lfloor\,\sqrt{82}\right\rfloor ,..., \left\lfloor\,\sqrt{99}\right\rfloor = 9$

จึงได้ $\left\lfloor\,\frac{1}{2(1)+1}+\frac{1}{2(1)+1}+...+\frac{1}{2(10)+1}\right\rfloor$

ข้อสังเกต : จำนวนของเศษส่วนที่เหมือนกัน จะมีจำนวนเท่ากับผลลัพธ์ของส่วน เช่น $\frac{1}{2(1)+1}$ มี 3 ตัว , $\frac{1}{2(9)+1}$ มี 19 ตัว

ทำให้ได้ $\left\lfloor\,3(\frac{1}{2(1)+1})+5(\frac{1}{2(2)+1})+...+\frac{1}{2(10)+1}\right\rfloor$

$\left\lfloor\,1+1+1+1+1+1+1+1+1+\frac{1}{21}\right\rfloor$

$\left\lfloor\,9+0.0476\right\rfloor = 9$

ไม่ได้พิมพ์ latex นาน เล่นเอาเหนื่อยเลย

[Siren-Of-Step]

ขอเฉลยข้อ 27 หน่อยครับ
ส่วนข้อ 20 ตอบ ข้อ 1

[Onasdi]

ข้อ 27 พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัส [-1,1]x[-1,1] ในระนาบ a b
แต่ละจุดในสี่เหลี่ยม มีโอกาสถูกเลือกเท่าๆกัน
ดังนั้นความน่าจะเป็น = พื้นที่ในสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องเงื่อนไข / พื้นที่ของสี่เหลี่ยม
วาดรูปแล้วจะเห็นว่าได้ 1/2

[tetris]

ขอแสดงวิธีทำอย่างละเอียดข้อ 10 15 16 ครับ
ขอบคุณล่วงหน้า

[teamman]

เอ่อ
ช่วยอธิบาย ข้อ 11 หน่อยได้มั้ย ครับ
คือผมอ่านแล้วงงๆ อะ????

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

ข้อนี้ต้องตอบ $328,351$ นะครับ เพราะ $f(1) = 101$ ไม่ใช่ $100$ นะครับ

จริงด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ teamman

เอ่อ
ช่วยอธิบาย ข้อ 11 หน่อยได้มั้ย ครับ
คือผมอ่านแล้วงงๆ อะ????

$A$ คือเซตของจำนวนจริง $a$ ซึ่งทำให้สมการ $a\cdot 3^{x}+3^{-x}=3$ มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว

จะได้ $A=\{\frac{9}{4}\}$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$A$ คือเซตของจำนวนจริง $a$ ซึ่งทำให้สมการ $a\cdot 3^{x}+3^{-x}=3$ มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว

จะได้ $A=\{\frac{9}{4}\}$

มาช่วยเสริมครับ มี-5000 อีกตัวด้วยครับ และอาจมีตัวอื่นอีกมากมาย เช่น -4000 เป็นต้น

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

มาช่วยเสริมครับ มี-5000 อีกตัวด้วยครับ และอาจมีตัวอื่นอีกมากมาย เช่น -4000 เป็นต้น

จริงด้วย ! เข้าใจผิดครับ ขอบคุณคุณมากครับ

[teamman]

อ่อขอบคุณมากครับ!!!

[nooonuii]

15. คงต้องใช้วิธีแยกตัวประกอบตรงๆแหละครับ ซึ่งก็ไม่ยาก มีจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบได้ไม่เกิน $29$

$30!=2^{26}\cdot 3^{14}\cdot 5^{7}\cdot 7^4\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29$

$~~~~=10^7(2^{19}\cdot 3^{14}\cdot 7^4\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29)$

จึงได้ $k=7$ และ $a_k=8$

$a_k$ หามาจากเลขหลักหน่วยของก้อนหลัง

ตอนหา $a_k$ ให้ลองสังเกตรูปแบบของเลขหลักสุดท้ายของแต่ละกำลังของจำนวนเฉพาะเช่น $2^{19}$

จะมีรูปแบบของเลขท้ายเป็น $2,4,8,6,2,4,8,6,...$ ซึ่งวนซ้ำทีละสี่

จึงได้ $2^{19}$ ลงท้ายด้วย $8$

[กิตติ]

ข้อ 34....ตอบ$\dfrac{2008}{2009} $

กำหนดให้$f(r)=\sum_{j = 2}^{2009}\dfrac{1}{j^r} $ ให้หาค่าของ$\sum_{k = 2}^{\infty} f(k) $
$f(2)=\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2009^2}$
$f(3)=\frac{1}{2^3} +\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{2009^3}$
ไปเรื่อยจนถึงพจน์อนันต์
โจทย์ให้หา$f(2)+f(3)+...$....ลองเขียนใหม่จัดรูปจะได้เป็น
ให้$M=f(2)+f(3)+...$
$M=(\frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^3} +...)+(\frac{1}{3^2} +\frac{1}{3^3} +...)+...+(\frac{1}{2009^2} +\frac{1}{2009^3} +...)$
$M= S_2+S_3+...+S_{2009}$

$S_2= \dfrac{\dfrac{1}{2^2}}{1-\dfrac{1}{2} } = \dfrac{1}{2} = 1-\dfrac{1}{2} $
สมมุติให้หารูปแบบทั่วไปจะได้ว่า$\dfrac{\dfrac{1}{n^2}}{1-\dfrac{1}{n} } = \dfrac{1}{n(n-1)} =\dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n} $
$S_3 = \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3} $

$S_4 = \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4} $
ไปจนถึง $S_{2009} = \dfrac{1}{2008} -\dfrac{1}{2009} $

ดังนั้น$M= 1-\dfrac{1}{2009} = \dfrac{2008}{2009}$

[กิตติ]

ข้อ 39.$f(x)= ax^5+7X^4-4x^3-b$ มี$(x+1)^2$เป็นตัวประกอบ ให้หาค่าของ$a^3-b^3$
ข้อนี้ผมใช้วิธีหารยาวแล้วติดค่าตัวแปรไปเรื่อย จนได้สมการว่า$b = 4a-29$ กับ $18-3a=2(11-4a)$
แก้สมการได้$a=8,b=3$ ได้ค่า$a^3-b^3=(8-3)(8^2+8*3+3^2) = 5*(64+24+9) $
$= 97*5 = 485$

ตามภาพที่แนบมา

[passer-by]

ข้อ 39 มีวิธีง่ายๆอีกแบบครับ โดยใช้ fact ด้านล่าง

"ถ้า $ (x+1)^m $ เป็นตัวประกอบของพหุนาม f(x) แล้ว $ (x+1)^{m-1} $ เป็นตัวประกอบของพหุนาม $ f'(x) $"

สำหรับข้อนี้ ใช้ fact ข้างต้น และใช้ ทฤษฎีเศษเหลือ 2 ครั้ง ก็พอครับ