สมการโคชี

[beginner01]

สมมติเราทราบว่า $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง
i) $f(x+y)=f(x)+f(y)$ และ
ii) $f(x)\geq 0;\forall x\in\mathbb{R}_{0}^{+}$
เราจะสามารถสรุปได้เลยหรือไม่ว่า $f(x)=cx;\exists c\in\mathbb{R}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01

สมมติเราทราบว่า $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง
i) $f(x+y)=f(x)+f(y)$ และ
ii) $f(x)\geq 0;\forall x\in\mathbb{R}_{0}^{+}$
เราจะสามารถสรุปได้เลยหรือไม่ว่า $f(x)=cx;\exists c\in\mathbb{R}$

ได้ครับ เพราะเราจะได้ทันทีว่า $f$ เป็น increasing function

[beginner01]

อ้อ เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ

ถ้าอย่างนั้นเราก็ได้ว่า $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $f(x+y)=f(x)+f(y)$
เราก็สามารถสรุปได้เลยว่า $f(x)=cx;\exists c\in\mathbb{R}^{+}$ ใช่ไหมครับ?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01

อ้อ เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ

ถ้าอย่างนั้นเราก็ได้ว่า $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $f(x+y)=f(x)+f(y)$
เราก็สามารถสรุปได้เลยว่า $f(x)=cx;\exists c\in\mathbb{R}^{+}$ ใช่ไหมครับ?

ได้ครับ จากเงื่อนไขได้ว่า $f$ เป็น increasing function

และ $f(r)=f(1)r$ ทุกจำนวนตรรกยะบวก $r$

ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ ก็สร้างลำดับของจำนวนตรรกยะบวก

$x_n\uparrow x$ และ $y_n\downarrow x$

จะได้ $f(1)x_n=f(x_n)\leq f(x)\leq f(y_n)=f(1)y_n$

โดย Squeeze Theorem จะได้ว่า $f(x)=f(1)x$