Prove Utility Function (risk-averse)

[champdean]

Q: Let X be the income of a worker. Assume that X is a discrete random variable that takes k possible values from {x1,x2,...,xk}. Let U(X) be the utility that a worker gets from income X. A worker is said to be risk-averse if E[U(X)] <= U(E[X])

Suppose that U(X) is given by

U(X) = 100 - exp(-X)

Prove that this worker with above utility function is risk-averse.

ขอละเอียดๆด้วยนะครับ

[nooonuii]

พิสูจน์ว่า $U(X)$ เป็น concave function แล้วก็ใช้ Jensen's inequality จากอีกกระทู้ที่ถามไว้นั่นแหละครับ

พิสูจน์ว่า $U(X)$ เป็น concave function ก็แค่พิสูจน์ว่า $U''(X)=-e^{-X}<0$ ก็จบครับ

[champdean]

ผมเข้าใจในส่วนของ Prove concave นะครับ

แต่ในส่วนของ Jensen's inequality จากกระทู้อีกอันยังไม่เข้าใจอ่ะครับว่า

ทำไม E[g(X)] <= g(E[X]) และ ∑pg(x)≤g(∑px)

คือ ค่าคาดหวังของฟังก์ชัน concave นี่มีวิธีอธิบายให้เข้าใจง่าย เช่น วาดกราฟ มั้ยครับ

รบกวน คุณnooonuiiเข้ามาแถลงไขด้วยนะครับ

[nooonuii]

คิดว่าอันนี้น่าจะตรงตามความต้องการมากที่สุดแล้วครับ

สำหรับ concave function เครื่องหมายมันจะกลับข้างกันครับ

http://en.wikipedia.org/wiki/Jensen's_inequality